Calcular as seguintes integrais:
integral x^4x^4-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar divisão de polinômios e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^4x^4-1 = 1 + 1x^4-1 . Perceba que o grau do numerador e do denominador é o mesmo (ambos são polinômios de grau 4). Quando os graus são iguais, podemos fazer uma divisão simples:
integral x^4x^4-1 , dx = integral 1 , dx + integral 1x^4-1 , dx
Portanto, a integral fica:

Passo 3

Vamos integrar o primeiro termo:
integral 1 , dx = x
Agora, precisamos focar na integral . Para resolver essa parte, vamos fatorar o denominador .

Passo 4

Fatorando x^4-1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1) :
1x^4-1 = Ax-1 + Bx+1 + Cx + Dx^2+1
Portanto, podemos escrever:

Passo 5

Vamos encontrar os coeficientes 1 = A(x+1)(x^2+1) + B(x-1)(x^2+1) + (Cx + D)(x-1)(x+1) , 1 = A(2)(2) Rightarrow A = 14 , 1 = B(-2)(2) Rightarrow B = -14 e usando frações parciais.
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , substituímos e :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, para encontrar 1 = A(1)(1) + B(-1)(1) + D(-1)(1) Rightarrow 1 = 14 - 14 - D Rightarrow D = -1 e 1 = 14(3)(5) + (-14)(1)(5) + (2C -1)(1)(3) , substituímos 1 = 154 - 54 + 3(2C -1) :
1 = 104 + 6C -3 Rightarrow 1 = 2.5 + 6C -3 Rightarrow 1 = -0.5 + 6C Rightarrow 6C = 1.5 Rightarrow C = 14
Para encontrar , escolhemos outro valor, por exemplo, :

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
1x^4-1 = 14(x-1) - 14(x+1) + 14x -1x^2+1
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^4-1 , dx = 14 integral 1x-1 , dx - 14 integral 1x+1 , dx + integral 14x -1x^2+1 , dx

Passo 8

Integrando cada parte:

Resposta

Somando todas as partes:
integral x^4x^4-1 , dx = x + 14 ln|x-1| - 14 ln|x+1| + 18 ln(x^2+1) - arctan(x) + C
Onde é a constante de integração.

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