Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar divisão de polinômios e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Perceba que o grau do numerador e do denominador é o mesmo (ambos são polinômios de grau 4). Quando os graus são iguais, podemos fazer uma divisão simples:
Portanto, a integral fica:

Passo 3

Vamos integrar o primeiro termo:
Agora, precisamos focar na integral . Para resolver essa parte, vamos fatorar o denominador .

Passo 4

Fatorando :
Portanto, podemos escrever:

Passo 5

Vamos encontrar os coeficientes , , e usando frações parciais.
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , substituímos e :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, para encontrar e , substituímos :
Para encontrar , escolhemos outro valor, por exemplo, :

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

Integrando cada parte:

Resposta

Somando todas as partes:
Onde é a constante de integração.

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