Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar divisão de polinômios e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Perceba que o grau do numerador e do denominador é o mesmo (ambos são polinômios de grau 4). Quando os graus são iguais, podemos fazer uma divisão simples:
Portanto, a integral fica:
Passo 3
Vamos integrar o primeiro termo:
Agora, precisamos focar na integral
. Para resolver essa parte, vamos fatorar o denominador
.
Passo 4
Fatorando
:
Portanto, podemos escrever:
Passo 5
Vamos encontrar os coeficientes
,
,
e
usando frações parciais.
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, substituímos
e
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 6
Agora, para encontrar
e
, substituímos
:
Para encontrar
, escolhemos outro valor, por exemplo,
:
Passo 7
Com os coeficientes encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Integrando cada parte:
Resposta
Somando todas as partes:
Onde
é a constante de integração.
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