Calcular as seguintes integrais: integral0^3 x raiz9-x^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem uma integral para calcular: . Esse tipo de integral está relacionado com o cálculo de áreas e envolve um pouco de álgebra e substituição. Vamos precisar usar a técnica de substituição para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável u = 9 - x^2 que seja igual a . Ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de dudx = -2x em relação a dx = du-2x para substituir o na integral. Derivando :
Então, podemos rearranjar para expressar :

Passo 4

Substituímos integral x raiz9 - x^2 , dx = integral x raizu cdot du-2x e = integral raizu-2 , du na integral original:
= -12 integral raizu , du
Observe que o no numerador e no denominador se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos integrar -12 integral u^1/2 , du = -12 cdot 23 u^3/2 + C . Lembrando que = -13 u^3/2 + C , a integral fica:
Simplificando:

Passo 6

Substituímos -13 (9 - x^2)^3/2 + C de volta para :

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor da integral definida de 0 a 3. Avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
[ -13 (9 - x^2)^3/2 ]0^3
Quando -13 (9 - 9)^3/2 = -13 cdot 0 = 0 :
-13 (9 - 0)^3/2 = -13 cdot 27 = -9
Quando :

Resposta

Subtraindo os valores:
0 - (-9) = 9
Então, o valor da integral é 9.

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