Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Então, a gente tem uma integral para calcular: . Esse tipo de integral está relacionado com o cálculo de áreas e envolve um pouco de álgebra e substituição. Vamos precisar usar a técnica de substituição para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável que seja igual a . Ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de em relação a para substituir o na integral. Derivando :
Então, podemos rearranjar para expressar :

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Observe que o no numerador e no denominador se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos integrar . Lembrando que , a integral fica:
Simplificando:

Passo 6

Substituímos de volta para :

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor da integral definida de 0 a 3. Avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Quando :
Quando :

Resposta

Subtraindo os valores:
Então, o valor da integral é 9.

Exercícios relacionados

Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Prove a seguinte fórmula de redução (ou recorrência):
Sugestão:Use o método de integração por partes.
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) da questão anterior.]
Calcular as seguintes integrais: