Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Então, a gente tem uma integral para calcular:
. Esse tipo de integral está relacionado com o cálculo de áreas e envolve um pouco de álgebra e substituição. Vamos precisar usar a técnica de substituição para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável
que seja igual a
. Ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de
em relação a
para substituir o
na integral. Derivando
:
Então, podemos rearranjar para expressar
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Observe que o
no numerador e no denominador se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos integrar
. Lembrando que
, a integral fica:
Simplificando:
Passo 6
Substituímos
de volta para
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor da integral definida de 0 a 3. Avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Quando
:
Quando
:
Resposta
Subtraindo os valores:
Então, o valor da integral é 9.
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais:
Prove a seguinte fórmula de redução (ou recorrência):
Sugestão:Use o método de integração por partes.
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) da questão anterior.]
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) da questão anterior.]
Calcular as seguintes integrais: