Calcular as seguintes integrais: integral x(x^2+4)^5 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Essa é uma questão de Cálculo Integral, mais especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar entender como aplicar a substituição para simplificar a integral e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando o denominador u = x^2 + 4 , percebemos que é uma boa candidata para substituição. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial du = 2x , dx em termos de x , dx = du2 . Diferenciando ambos os lados da substituição em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral x(x^2+4)^5 / 2 , dx = integral du2u^5/2 = 12 integral u^-5/2 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C, onde n neq -1 em relação a 12 integral u^-5/2 , du = 12 cdot u^-3/2-3/2 + C = 12 cdot (-23) u^-3/2 + C = -13 u^-3/2 + C . A regra para integrar é:
Aplicando isso:

Passo 6

Vamos voltar à variável original substituindo -13 u^-3/2 + C = -13 (x^2 + 4)^-3/2 + C :

Resposta

A integral -13 (x^2 + 4)^-3/2 + C é igual a:

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