Calcular as seguintes integrais: integral0^3 d xraiz9+x^2

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de 0 a 3 da função . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente à integração de funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar usar uma fórmula de integração conhecida para esse tipo de função.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a integral integral dxraiza^2 + x^2 = ln(x + raiza^2 + x^2) + C tem uma antiderivada conhecida. A fórmula para essa integral é:
ln(x + raiz9 + x^2) + C
No nosso caso, , então a antiderivada será:

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 3 à antiderivada que encontramos. Isso significa que vamos calcular:
[ ln(x + raiz9 + x^2) ]0^3
O que se traduz em:
ln(3 + raiz9 + 3^2) - ln(0 + raiz9 + 0^2)

Passo 4

Simplificando os termos dentro dos logaritmos:
Para 3 + raiz9 + 9 = 3 + raiz18 = 3 + 3raiz2 :
0 + raiz9 + 0 = raiz9 = 3
Para ln(3 + 3raiz2) - ln(3) :
ln(3 + 3raiz23) = ln(1 + raiz2)
Então, a expressão fica:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A integral é igual a .

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