Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar o conteúdo de integração por frações parciais, que é uma técnica pra integrar funções racionais. Primeiro, precisamos simplificar o denominador e decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. A gente pode tirar um
em evidência:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração
como uma soma de frações parciais. Ou seja, encontramos constantes
,
e
tais que:
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum
:
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a equação:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais de
são logaritmos naturais:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a 3:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Como
, simplificamos:
Simplificando ainda mais:
Resposta
Após simplificar, o valor da integral é:
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