Calcular as seguintes integrais:
integral2^3 1x^3+x^2-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o conteúdo de integração por frações parciais, que é uma técnica pra integrar funções racionais. Primeiro, precisamos simplificar o denominador e decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) . A gente pode tirar um x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) em evidência:
x^3 + x^2 - 2x = x(x + 2)(x - 1)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 1x(x + 2)(x - 1) = Ax + Bx + 2 + Cx - 1 como uma soma de frações parciais. Ou seja, encontramos constantes , e tais que:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A(x + 2)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 2) , 1 = A(0 + 2)(0 - 1) Rightarrow 1 = A(2)(-1) Rightarrow A = -12 e 1 = B(-2)(-2 - 1) Rightarrow 1 = B(-2)(-3) Rightarrow B = 16 , multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum 1 = C(1)(1 + 2) Rightarrow 1 = C(1)(3) Rightarrow C = 13 :
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de 1x(x + 2)(x - 1) = -12x + 16(x + 2) + 13(x - 1) , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x(x + 2)(x - 1) , dx = -12 integral 1x , dx + 16 integral 1x + 2 , dx + 13 integral 1x - 1 , dx
As integrais de = -12 ln|x| + 16 ln|x + 2| + 13 ln|x - 1| + C são logaritmos naturais:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a 3:
integral2^3 1x^3+x^2-2x , dx = [ -12 ln|x| + 16 ln|x + 2| + 13 ln|x - 1| ]2^3
Calculando nos limites:
Para -12 ln 3 + 16 ln 5 + 13 ln 2 :
-12 ln 2 + 16 ln 4 + 13 ln 1
Para (-12 ln 3 + 16 ln 5 + 13 ln 2) - (-12 ln 2 + 16 ln 4) :
-12 ln 3 + 16 ln 5 + 13 ln 2 + 12 ln 2 - 16 ln 4
Como , simplificamos:
Simplificando ainda mais:

Resposta

Após simplificar, o valor da integral é:
-12 ln 3 + 16 ln 5 + 56 ln 2

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