Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o conteúdo de integração por frações parciais, que é uma técnica pra integrar funções racionais. Primeiro, precisamos simplificar o denominador e decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . A gente pode tirar um em evidência:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração como uma soma de frações parciais. Ou seja, encontramos constantes , e tais que:

Passo 4

Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais de são logaritmos naturais:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a 3:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Como , simplificamos:
Simplificando ainda mais:

Resposta

Após simplificar, o valor da integral é:

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