Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar a integral, possivelmente usando substituição ou divisão de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Para isso, vamos dividir o polinômio do numerador pelo do denominador. Isso nos ajuda a reescrever a fração de uma forma que seja mais fácil de integrar.
Passo 3
Vamos realizar a divisão de
por
. Ao expandir
, temos:
Agora, dividimos
por
. O resultado dessa divisão é 1 com um resto
. Portanto:
Passo 4
Agora, a integral fica:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 5
A primeira integral é simples:
Agora, vamos focar na segunda integral:
. Para resolver essa parte, vamos fazer uma substituição.
Passo 6
Vamos deixar
, então
. Também, expressamos
em termos de
:
. Substituindo na integral:
Vamos expandir o numerador:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Lembrando que:
Então:
Passo 8
Voltando à variável original, onde
:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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