Calcular as seguintes integrais:
integral x^3(x+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar a integral, possivelmente usando substituição ou divisão de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Para isso, vamos dividir o polinômio do numerador pelo do denominador. Isso nos ajuda a reescrever a fração de uma forma que seja mais fácil de integrar.

Passo 3

Vamos realizar a divisão de (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 por x^3(x+1)^3 = 1 - 3x^2 + 3x + 1(x+1)^3 . Ao expandir , temos:
Agora, dividimos por . O resultado dessa divisão é 1 com um resto . Portanto:

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral x^3(x+1)^3 , dx = integral (1 - 3x^2 + 3x + 1(x+1)^3) , dx
Vamos separar a integral em duas partes:
integral 1 , dx - integral 3x^2 + 3x + 1(x+1)^3 , dx

Passo 5

A primeira integral é simples:
integral 1 , dx = x + C
Agora, vamos focar na segunda integral: . Para resolver essa parte, vamos fazer uma substituição.

Passo 6

Vamos deixar integral 3(u-1)^2 + 3(u-1) + 1u^3 , du , então 3(u^2 - 2u + 1) + 3(u - 1) + 1 = 3u^2 - 6u + 3 + 3u - 3 + 1 = 3u^2 - 3u + 1 . Também, expressamos integral 3u^2 - 3u + 1u^3 , du = integral (3u^2u^3 - 3uu^3 + 1u^3) , du em termos de integral (3u^-1 - 3u^-2 + u^-3) , du : . Substituindo na integral:
Vamos expandir o numerador:
Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
3 integral u^-1 , du - 3 integral u^-2 , du + integral u^-3 , du
Lembrando que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1)
Então:
3 ln|u| + 3u - 12u^2 + C

Passo 8

Voltando à variável original, onde 3 ln|x + 1| + 3x + 1 - 12(x + 1)^2 + C :

Resposta

A integral x - 3 ln|x + 1| - 3x + 1 + 12(x + 1)^2 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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