Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar a integral, possivelmente usando substituição ou divisão de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Para isso, vamos dividir o polinômio do numerador pelo do denominador. Isso nos ajuda a reescrever a fração de uma forma que seja mais fácil de integrar.

Passo 3

Vamos realizar a divisão de por . Ao expandir , temos:
Agora, dividimos por . O resultado dessa divisão é 1 com um resto . Portanto:

Passo 4

Agora, a integral fica:
Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 5

A primeira integral é simples:
Agora, vamos focar na segunda integral: . Para resolver essa parte, vamos fazer uma substituição.

Passo 6

Vamos deixar , então . Também, expressamos em termos de : . Substituindo na integral:
Vamos expandir o numerador:
Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Lembrando que:
Então:

Passo 8

Voltando à variável original, onde :

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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