Calcular as seguintes integrais: integral1^e (ln x)^2x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem logaritmos naturais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . Isso nos ajuda a lidar com o na integral de forma mais fácil.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de du = 1x dx em relação a . Derivando ambos os lados, temos:
Isso significa que . Essa substituição vai simplificar nossa integral.

Passo 4

Substituindo integral1^e (ln x)^2x , dx = integralu(1)^u(e) u^2 , du e integral0^1 u^2 , du na integral original, ficamos com:
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração quando e :
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos calcular essa integral simples. A antiderivada de integral0^1 u^2 , du = [ u^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 - 0 = 13 é . Então:

Resposta

A integral é igual a .

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