Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem logaritmos naturais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . Isso nos ajuda a lidar com o na integral de forma mais fácil.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Derivando ambos os lados, temos:
Isso significa que . Essa substituição vai simplificar nossa integral.

Passo 4

Substituindo e na integral original, ficamos com:
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração quando e :
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos calcular essa integral simples. A antiderivada de é . Então:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Considere a função
(a) Determine e todos os limites de no ponto 1 .
Para a função cujo gráfico é mostrado a seguir, determine o valor de cada quantidade, se ela existir. Se ela não existir, explique por quê.
(g) .
Calcular as seguintes integrais:
Calcular as seguintes integrais: