Considere a função
f(x)= x+5, & se x<-2 -x^2-2 x+3, & se -2 <= x<1 -x+2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x=3
(a) Determine f(1) e todos os limites de f no ponto 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar e todos os limites de no ponto 1 para a função dada. A função é uma função por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções por partes e limites. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar f(x)= x+5, & se x < -2 -x^2-2x+3, & se -2 <= x < 1 -x+2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x = 3 . Olhando para a definição da função:
Para , qual parte da função vamos usar? A condição que inclui é e . Então, usamos .

Passo 3

Agora, vamos calcular f(1) = -1 + 2 = 1 :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de quando se aproxima de 1, ou seja, . Existem dois limites que precisamos considerar: o limite pela esquerda ( ) e o limite pela direita ( ).

Passo 5

Primeiro, o limite pela esquerda: limx to 1^- f(x) = limx to 1 (-x^2-2x+3) .
Quando se aproxima de 1 pela esquerda, estamos na parte da função , que é válida para .
Então,

Passo 6

Calculando o limite:
limx to 1 (-x^2-2x+3) = -(1)^2 - 2(1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0
Então, .

Passo 7

Agora, o limite pela direita: limx to 1^+ f(x) = limx to 1 (-x + 2) .
Quando se aproxima de 1 pela direita, usamos , válido para e .
Então,

Passo 8

Calculando o limite:
limx to 1 (-x + 2) = -1 + 2 = 1
Então, .

Passo 9

Finalmente, para ter o limite geral , precisamos verificar se os limites pela esquerda e pela direita são iguais.
Aqui,
Como , o limite geral não existe.

Resposta

Os limites de no ponto 1 são:
Como os limites laterais são diferentes, não existe.

Exercícios relacionados