Calcule a primitivas da função F(x) = x^2 / (3 + x^2) sabendo que F(0) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa encontrar uma primitiva da função e saber que . Isso significa que vamos integrar a função para achar sua antiderivada e ajustar a constante de integração usando essa condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma primitiva. Basicamente, uma primitiva de uma função é outra função tal que a derivada de é igual a . Ou seja, . Para encontrar , precisamos integrar .

Passo 3

Vamos integrar a função . Observando a fração, podemos simplificar a expressão dividindo o numerador pelo denominador:
Isso facilita a integração, pois agora temos uma expressão mais simples.

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é direta, e a segunda requer o uso de uma fórmula de integração conhecida.

Passo 5

Sabemos que:
No nosso caso, , então .
Aplicando isso na segunda integral:

Passo 6

Juntando as integrais, temos:
Simplificando :

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante .
Substituindo :
Sabemos que , então:

Resposta

A primitiva da função é:

Exercícios relacionados