Calcule a primitivas da função
sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa encontrar uma primitiva da função
e saber que
. Isso significa que vamos integrar a função para achar sua antiderivada e ajustar a constante de integração usando essa condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma primitiva. Basicamente, uma primitiva de uma função
é outra função
tal que a derivada de
é igual a
. Ou seja,
. Para encontrar
, precisamos integrar
.
Passo 3
Vamos integrar a função
. Observando a fração, podemos simplificar a expressão dividindo o numerador pelo denominador:
Isso facilita a integração, pois agora temos uma expressão mais simples.
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é direta, e a segunda requer o uso de uma fórmula de integração conhecida.
Passo 5
Sabemos que:
No nosso caso,
, então
.
Aplicando isso na segunda integral:
Passo 6
Juntando as integrais, temos:
Simplificando
:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor da constante
.
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A primitiva da função
é:
Exercícios relacionados
Considere os triângulos retângulos no primeiro quadrante, cada um com seus lados apoiados nos eixos coordenados e a sua hipotenusa sendo o segmento que contem o ponto (2,3). Encontre o triângulo de área mínima.
Calcular as seguintes integrais:
Calcular a área da região
onde
está limitada pelas curvas:
e
para
.
A velocidade de uma partícula, que se traslada numa reta, está dada pela função
no tempo
.
Qual é a velocidade media da partícula entre e
? Se a velocidade estivesse dada pela função
, a velocidade media entre
e
é maior ou menor que para
?
Qual é a velocidade media da partícula entre