A velocidade de uma partícula, que se traslada numa reta, está dada pela função
no tempo
.
Qual é a velocidade media da partícula entre
e
? Se a velocidade estivesse dada pela função
, a velocidade media entre
e
é maior ou menor que para
?
Qual é a velocidade media da partícula entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a velocidade de uma partícula que se move numa linha reta. A função que descreve a velocidade é
, onde
é o tempo. Precisamos calcular a velocidade média dessa partícula entre
e
. Além disso, vamos comparar essa média com a velocidade média de uma outra função
no mesmo intervalo de tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a média de uma função contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a velocidade média. A velocidade média em um intervalo de tempo é dada pela integral da função de velocidade sobre esse intervalo, dividida pelo tamanho do intervalo. Matematicamente, isso é expressado como:
Onde
é o intervalo de tempo considerado.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para a primeira função de velocidade,
, no intervalo de
a
. Aqui,
e
. Então, a velocidade média será:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. A antiderivada de
é
. Então:
Passo 5
Substituindo de volta na fórmula da velocidade média:
Passo 6
Simplificando, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a velocidade média para a função
no mesmo intervalo de
a
. Usando a mesma fórmula:
Passo 8
Calculando a integral
. A antiderivada de
é
. Então:
Passo 9
Substituindo na fórmula da velocidade média:
Passo 10
Agora, vamos comparar as duas velocidades médias. Sabemos que
, então:
E a velocidade média de
é 1.
Resposta
A velocidade média da partícula com
entre
e
é aproximadamente
. Para a função
, a velocidade média no mesmo intervalo é 1. Portanto, a velocidade média para
é maior do que para
.
Exercícios relacionados
Calcular a área da região
onde
está limitada pelas curvas:
e
para
.
Calcule a primitivas da função
sabendo que
.
A velocidade de uma partícula, que se traslada numa reta, está dada pela função
no tempo
.
Qual é a aceleração da partícula no instante ? A aceleração é constante, crescente ou decrescente?
Qual é a aceleração da partícula no instante
Calcular as seguintes integrais: