A velocidade de uma partícula, que se traslada numa reta, está dada pela função v(t) = e^(2 t) no tempo t.
Qual é a velocidade media da partícula entre t = 0 e t = 2 ? Se a velocidade estivesse dada pela função v(t) = t, a velocidade media entre t = 0 e t = 2 é maior ou menor que para v(t) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a velocidade de uma partícula que se move numa linha reta. A função que descreve a velocidade é , onde t é o tempo. Precisamos calcular a velocidade média dessa partícula entre e . Além disso, vamos comparar essa média com a velocidade média de uma outra função no mesmo intervalo de tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a média de uma função contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a velocidade média. A velocidade média em um intervalo de tempo é dada pela integral da função de velocidade sobre esse intervalo, dividida pelo tamanho do intervalo. Matematicamente, isso é expressado como:
é
Onde [a, b] é o intervalo de tempo considerado.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para a primeira função de velocidade, , no intervalo de a . Aqui, e . Então, a velocidade média será:
é

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral . A antiderivada de é . Então:

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula da velocidade média:
é

Passo 6

Simplificando, temos:
é

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade média para a função no mesmo intervalo de a . Usando a mesma fórmula:
é

Passo 8

Calculando a integral . A antiderivada de t é . Então:

Passo 9

Substituindo na fórmula da velocidade média:
é

Passo 10

Agora, vamos comparar as duas velocidades médias. Sabemos que , então:
é
E a velocidade média de é 1.

Resposta

A velocidade média da partícula com entre e é aproximadamente . Para a função , a velocidade média no mesmo intervalo é 1. Portanto, a velocidade média para é maior do que para .

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