Calcule $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-5 x^{2}+8 x-4}{x^{4}-5 x-6}”
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 da função
. Esse exercício envolve o conceito de limites em funções racionais, e para resolvê-lo, vamos precisar fatorar os polinômios do numerador e do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver qual é o valor:
Numerador:
Denominador:
Ao substituir, obtemos a forma
, que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Numerador:
Primeiro, vamos encontrar uma raiz do numerador. Testando
:
Então,
é um fator. Fazendo a divisão, temos:
E
pode ser fatorado como
. Portanto:
Denominador:
Vamos encontrar uma raiz do denominador. Testando
:
Então,
é um fator. Fazendo a divisão, temos:
Agora, vamos fatorar
. Testando
:
Então,
é um fator. Fazendo a divisão, temos:
Portanto, o denominador fica:
Passo 4
Substituindo os fatores na expressão original:
Podemos cancelar um
que está no numerador e no denominador:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Portanto, o limite é igual a zero.
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{x-2}”
Calcular as seguintes integrais:
Esboce o gráfico de
. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule
Calcule $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x{3}-1}{x{4}+3 x-4}”