Calcule $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-5 x^{2}+8 x-4}{x^{4}-5 x-6}”

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 2 da função . Esse exercício envolve o conceito de limites em funções racionais, e para resolvê-lo, vamos precisar fatorar os polinômios do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função para ver qual é o valor:
Numerador:
Denominador:
Ao substituir, obtemos a forma , que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Numerador:
Primeiro, vamos encontrar uma raiz do numerador. Testando :
Então, é um fator. Fazendo a divisão, temos:
E pode ser fatorado como . Portanto:
Denominador:
Vamos encontrar uma raiz do denominador. Testando :
Então, é um fator. Fazendo a divisão, temos:
Agora, vamos fatorar . Testando :
Então, é um fator. Fazendo a divisão, temos:
Portanto, o denominador fica:

Passo 4

Substituindo os fatores na expressão original:
Podemos cancelar um que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão simplificada:
Portanto, o limite é igual a zero.

Resposta

O limite é igual a .

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