Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição que nos ajudam a simplificar integrais mais complicadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a substituição adequada para facilitar a integração de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que temos:
. O que percebemos aqui é que temos uma função composta dentro do seno, que é
, e multiplicada por
. Isso sugere que uma boa técnica para usar aqui é a substituição, também conhecida como mudança de variável.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
para simplificar a expressão dentro do seno. Vamos deixar:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
:
Isso significa que:
Ou, isolando
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na nossa integral original:
Então, nossa integral agora é
.
Passo 5
Para resolver
, podemos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar potências ímpares de seno. A identidade é:
Assim, substituímos na integral:
Passo 6
Agora, fazemos outra substituição para facilitar a integração. Vamos deixar:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltamos às variáveis originais. Lembrando que
:
Então, a integral
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Voltando à nossa substituição inicial, onde
, substituímos de volta:
E lembrando do fator
que tínhamos antes:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(m) ,
(m)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
k)
k)
Calcule c, se
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
® .
®