Calcular as seguintes integrais: integral y sen^3(y^2) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição que nos ajudam a simplificar integrais mais complicadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a substituição adequada para facilitar a integração de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que temos: . O que percebemos aqui é que temos uma função composta dentro do seno, que é , e multiplicada por . Isso sugere que uma boa técnica para usar aqui é a substituição, também conhecida como mudança de variável.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = y^2 para simplificar a expressão dentro do seno. Vamos deixar:
du/dy = 2y
Agora, vamos calcular a derivada de du = 2y , dy em relação a y , dy = du2 , ou seja, :
Isso significa que:
Ou, isolando :

Passo 4

Agora, substituímos integral y sin^3(y^2) dy = integral sin^3(u) cdot du2 = 12 integral sin^3(u) du e na nossa integral original:
Então, nossa integral agora é .

Passo 5

Para resolver sin^3(u) = sin^2(u) cdot sin(u) = (1 - cos^2(u)) cdot sin(u) , podemos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar potências ímpares de seno. A identidade é:
integral sin^3(u) du = integral (1 - cos^2(u)) cdot sin(u) du
Assim, substituímos na integral:

Passo 6

Agora, fazemos outra substituição para facilitar a integração. Vamos deixar:
v = cos(u)
Então, a derivada de dv/du = -sin(u) implies dv = -sin(u) du implies -dv = sin(u) du em relação a integral (1 - cos^2(u)) cdot sin(u) du = integral (1 - v^2) cdot (-dv) = -integral (1 - v^2) dv é:
-integral (1 - v^2) dv = -( integral 1 , dv - integral v^2 dv ) = -( v - v^33 ) = -v + v^33
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 7

Agora, voltamos às variáveis originais. Lembrando que -v + v^33 = -cos(u) + cos^3(u)3 :
-cos(u) + cos^3(u)3 + C
Então, a integral é:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à nossa substituição inicial, onde -cos(y^2) + cos^3(y^2)3 + C , substituímos de volta:
12 ( -cos(y^2) + cos^3(y^2)3 ) + C = -12 cos(y^2) + 16 cos^3(y^2) + C
E lembrando do fator que tínhamos antes:

Resposta

A integral -12 cos(y^2) + 16 cos^3(y^2) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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