Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição que nos ajudam a simplificar integrais mais complicadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a substituição adequada para facilitar a integração de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que temos: . O que percebemos aqui é que temos uma função composta dentro do seno, que é , e multiplicada por . Isso sugere que uma boa técnica para usar aqui é a substituição, também conhecida como mudança de variável.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para simplificar a expressão dentro do seno. Vamos deixar:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, :
Isso significa que:
Ou, isolando :

Passo 4

Agora, substituímos e na nossa integral original:
Então, nossa integral agora é .

Passo 5

Para resolver , podemos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar potências ímpares de seno. A identidade é:
Assim, substituímos na integral:

Passo 6

Agora, fazemos outra substituição para facilitar a integração. Vamos deixar:
Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 7

Agora, voltamos às variáveis originais. Lembrando que :
Então, a integral é:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à nossa substituição inicial, onde , substituímos de volta:
E lembrando do fator que tínhamos antes:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(m) ,
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
k)
Calcule c, se
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
® .