Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(m) f(x) = x^x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando a regra da cadeia. Aqui, estamos trabalhando com derivadas e funções exponenciais onde a base e o expoente são variáveis. Para resolver, vamos precisar usar logaritmos para simplificar a expressão antes de aplicar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando logaritmos para facilitar a derivação. Tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Usamos a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito:

Passo 5

Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
No lado direito, aplicamos a regra do produto:

Passo 6

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta na equação:

Resposta

A derivada de é:

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