Calcule c, se lim x 3 raizc x^2+4x^2+1=2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um limite envolvendo uma raiz quadrada e precisa descobrir o valor de . O conteúdo aqui é de Cálculo, mais especificamente limites. Para resolver, vamos usar as propriedades de limites e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o limite que a gente tem:
lim x 3 raizc x^2+4x^2+1 = 2
A ideia é simplificar essa expressão para encontrar .

Passo 3

Sabemos que se o limite de uma função é um número finito, podemos calcular o limite dentro da raiz. Então, vamos calcular o limite dentro da raiz separadamente:
lim x 3 c x^2+4x^2+1
Como estamos substituindo c cdot 3^2 + 43^2 + 1 = 9c + 49 + 1 = 9c + 410 por 3, vamos fazer isso diretamente:

Passo 4

Agora, sabemos que a raiz quadrada desse limite é igual a 2. Então, podemos escrever:
raiz9c + 410 = 2
Para tirar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
9c + 410 = 2^2 implies 9c + 410 = 4

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar 9c + 4 = 40 . Multiplicamos ambos os lados por 10:
9c = 36
Subtraímos 4 de ambos os lados:
c = 369 = 4
E finalmente, dividimos por 9:

Resposta

O valor de é igual a 4.

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