Calcule, se existirem, os seguintes limites:
k) lim x 0^+ 2 raizx-5 raiz[4]x^3raiz[4]x^3+x^2

Passo 1

Vamos calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Aqui estamos lidando com limites em cálculo, especificamente analisando o comportamento da função perto de um ponto. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e analisar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever todas as raízes usando potências fracionárias para simplificar a manipulação matemática:
  • 2x^1/2 - 5x^3/4(x^3 + x^2)^1/4
Assim, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador. Observe que (x^3 + x^2)^1/4 = (x^2(x + 1))^1/4 = x^2 times 14 cdot (x + 1)^1/4 = x^1/2 cdot (x + 1)^1/4 . Então:
2x^1/2 - 5x^3/4x^1/2 cdot (x + 1)^1/4
Substituindo de volta na expressão original:

Passo 4

Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
2x^1/2x^1/2 cdot (x + 1)^1/4 - 5x^3/4x^1/2 cdot (x + 1)^1/4 = 2(x + 1)^1/4 - 5x^1/4(x + 1)^1/4
Isso simplifica para:
2 - 5x^1/4(x + 1)^1/4

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de cada parte à medida que 2 - 01 = 21 = 2 se aproxima de :
  • tende a porque qualquer potência positiva de é .
  • tende a porque tende a , então tende a , e a quarta raiz de é .
Substituindo esses limites na expressão:

Resposta

O limite é igual a .

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