Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável assim:
Isso vai ajudar a eliminar a raiz quadrada presente na expressão.

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . A partir da equação , isolamos :
Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar :

Passo 4

Vamos determinar em termos de . Derivando em relação a :
Então, temos:

Passo 5

Precisamos também ajustar os limites de integração de para . Quando :
E quando :
Então, novos limites são de a .

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral original:
Perceba que no denominador cancela com o do .

Passo 7

Simplificando, a integral fica:
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 8

A antiderivada de é:
Então, substituindo na integral:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O valor da integral é 209715.

Exercícios relacionados

Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(a) ;
Calcular as seguintes integrais:
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(d) .
Use as regras de derivação para calcular as derivadas das seguintes funções: ,