Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável
assim:
Isso vai ajudar a eliminar a raiz quadrada presente na expressão.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. A partir da equação
, isolamos
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Passo 4
Vamos determinar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Então, temos:
Passo 5
Precisamos também ajustar os limites de integração de
para
. Quando
:
E quando
:
Então, novos limites são de
a
.
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral original:
Perceba que
no denominador cancela com o
do
.
Passo 7
Simplificando, a integral fica:
Agora, vamos integrar
em relação a
.
Passo 8
A antiderivada de
é:
Então, substituindo na integral:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O valor da integral é 209715.
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(d)
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,