Calcular as seguintes integrais: integral0^9 (1+raizs)^9raizs d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^9 (1+raizs)^9raizs , ds. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável t assim:
t = 1 + raizs
Isso vai ajudar a eliminar a raiz quadrada presente na expressão.

Passo 3

Agora, precisamos expressar s em termos de t. A partir da equação t = 1 + raizs, isolamos raizs:
raizs = t - 1
Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar s:
s = (t - 1)^2

Passo 4

Vamos determinar ds em termos de dt. Derivando s = (t - 1)^2 em relação a t:
dsdt = 2(t - 1)
Então, temos:
ds = 2(t - 1), dt

Passo 5

Precisamos também ajustar os limites de integração de s para t. Quando s = 0:
t = 1 + raiz0 = 1
E quando s = 9:
t = 1 + raiz9 = 4
Então, novos limites são de t = 1 a t = 4.

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral0^9 (1+raizs)^9raizs , ds = integral1^4 t^9t - 1 cdot 2(t - 1), dt
Perceba que (t - 1) no denominador cancela com o (t - 1) do ds.

Passo 7

Simplificando, a integral fica:
2 integral1^4 t^9 , dt
Agora, vamos integrar t^9 em relação a t.

Passo 8

A antiderivada de t^9 é:
t^1010
Então, substituindo na integral:
2 [ t^1010 ]1^4 = 210 (4^10 - 1^10)
Calculando os valores:
4^10 = 1048576
1^10 = 1
Então:
210 (1048576 - 1) = 210 times 1048575 = 209715010 = 209715

Resposta

O valor da integral é 209715.

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