Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir isso. Precisamos calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A função é uma fração, então vamos usar a regra da derivada para funções do tipo , que é:
Aqui, e . Vamos derivar e :
é

Passo 3

Agora, aplicando na fórmula da derivada:

Passo 4

Vamos simplificar a derivada:
Agora, precisamos analisar onde é positiva ou negativa.

Passo 5

Observando :
  • O denominador é sempre positivo porque qualquer número ao quadrado é positivo.
  • O numerador depende do valor de .
Então, o sinal de depende apenas de :
  • Se , ou seja, , então (função crescendo).
  • Se , ou seja, , então (função decrescendo).

Resposta

A função está crescendo no intervalo e está decrescendo no intervalo .

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Calcular as seguintes integrais:
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(a) ;
Use as regras de derivação para calcular as derivadas das seguintes funções: ,
Mostre se a função é contínua ou descontínua em .