Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir isso. Precisamos calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função é uma fração, então vamos usar a regra da derivada para funções do tipo
, que é:
Aqui,
e
. Vamos derivar
e
:
Passo 3
Agora, aplicando na fórmula da derivada:
Passo 4
Vamos simplificar a derivada:
Agora, precisamos analisar onde
é positiva ou negativa.
Passo 5
Observando
:
- O denominador
é sempre positivo porque qualquer número ao quadrado é positivo. - O numerador depende do valor de
.
Então, o sinal de
depende apenas de
:
- Se
, ou seja, , então (função crescendo). - Se
, ou seja, , então (função decrescendo).
Resposta
A função
está crescendo no intervalo
e está decrescendo no intervalo
.
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais:
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(a) ;
(a)
Use as regras de derivação para calcular as derivadas das seguintes funções:
,
Mostre se a função
é contínua ou descontínua em
.