Calcular as seguintes integrais: integral0^1 r^2raiz1-r d r

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse problema envolve a matéria de cálculo integral, mais especificamente integrais definidas e substituição. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações algébricas e raízes dentro de uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a integração. Podemos reescrever como .

Passo 3

Agora, vamos usar a substituição para facilitar a integração. Vamos definir . Assim, a derivada de em relação a é , o que nos dá .

Passo 4

Precisamos também mudar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando integral1^0 (1 - u)^2raizu cdot (-du) , integral0^1 (1 - u)^2raizu du .
  • Quando , .
Agora, nossa integral fica:
O sinal negativo troca os limites de integração:

Passo 5

Vamos expandir (1 - u)^2 = 1 - 2u + u^2 :
integral0^1 1 - 2u + u^2raizu du = integral0^1 u^-1/2 - 2u^1/2 + u^3/2 du
Então, a integral se torna:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo usando a regra de potência para integrais:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso a cada termo:
integral u^-1/2 du = 2u^1/2
integral -2u^1/2 du = -43u^3/2
integral u^3/2 du = 25u^5/2

Passo 7

Agora, avaliamos cada termo de 0 a 1:
2u^1/2 |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2
-43u^3/2 |0^1 = -43(1) + 43(0) = -43
25u^5/2 |0^1 = 25(1) - 25(0) = 25

Passo 8

Somamos todos os resultados:
2 - 43 + 25 = 3015 - 2015 + 615 = 1615

Resposta

O valor da integral é .

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