Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse problema envolve a matéria de cálculo integral, mais especificamente integrais definidas e substituição. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações algébricas e raízes dentro de uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a integração. Podemos reescrever como .

Passo 3

Agora, vamos usar a substituição para facilitar a integração. Vamos definir . Assim, a derivada de em relação a é , o que nos dá .

Passo 4

Precisamos também mudar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando , .
  • Quando , .
Agora, nossa integral fica:
O sinal negativo troca os limites de integração:

Passo 5

Vamos expandir :
Então, a integral se torna:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo usando a regra de potência para integrais:
Aplicando isso a cada termo:

Passo 7

Agora, avaliamos cada termo de 0 a 1:

Passo 8

Somamos todos os resultados:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Explicite os pontos de descontinuidade das seguintes funções:
d)
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
® .
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(a) ;
Calcular as seguintes integrais: