Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar, se existirem, os pontos de acumulação, máximo, mínimo, supremo e ínfimo do conjunto
. Para isso, vamos precisar de conceitos de análise matemática, como pontos de acumulação e propriedades de conjuntos de números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto
. Ele é formado pelos cubos de todos os números racionais. Ou seja, se você pegar qualquer número racional
e calcular
, o resultado estará em
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre pontos de acumulação. Um ponto de acumulação de um conjunto é um número onde, por mais que você aproxime, sempre tem elementos do conjunto perto dele. No caso dos racionais, eles são densos nos reais, o que significa que entre quaisquer dois números reais, sempre tem um racional.
Passo 4
Como
é formado pelos cubos dos racionais, e os racionais são densos nos reais, os cubos deles também vão ser densos nos reais. Portanto, todo número real é um ponto de acumulação de
.
Passo 5
Vamos agora procurar por máximo e mínimo no conjunto
. Para que exista um máximo, deve haver um maior elemento no conjunto, e para o mínimo, um menor elemento.
Passo 6
Observe que
inclui
para todo
. Se escolhermos
muito grande,
também será muito grande positivamente, e se escolhermos
muito negativo,
será muito grande negativamente. Isso significa que
não tem limites superiores nem inferiores.
Passo 7
Como
não é limitado, não existe um máximo nem um mínimo no conjunto.
Passo 8
Finalmente, vamos determinar o supremo e o ínfimo de
. O supremo é o menor número real que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, e o ínfimo é o maior número real que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
Passo 9
Mas como
não tem limites superiores nem inferiores (como vimos no Passo 7), não existe um supremo nem um ínfimo para
.
Resposta
O conjunto
tem todos os números reais como pontos de acumulação. Não existem ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo ou ínfimo para
.
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