Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
l) L = {x^3 | x em Q}

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar, se existirem, os pontos de acumulação, máximo, mínimo, supremo e ínfimo do conjunto . Para isso, vamos precisar de conceitos de análise matemática, como pontos de acumulação e propriedades de conjuntos de números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto . Ele é formado pelos cubos de todos os números racionais. Ou seja, se você pegar qualquer número racional e calcular , o resultado estará em .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre pontos de acumulação. Um ponto de acumulação de um conjunto é um número onde, por mais que você aproxime, sempre tem elementos do conjunto perto dele. No caso dos racionais, eles são densos nos reais, o que significa que entre quaisquer dois números reais, sempre tem um racional.

Passo 4

Como é formado pelos cubos dos racionais, e os racionais são densos nos reais, os cubos deles também vão ser densos nos reais. Portanto, todo número real é um ponto de acumulação de .

Passo 5

Vamos agora procurar por máximo e mínimo no conjunto . Para que exista um máximo, deve haver um maior elemento no conjunto, e para o mínimo, um menor elemento.

Passo 6

Observe que inclui para todo . Se escolhermos muito grande, também será muito grande positivamente, e se escolhermos muito negativo, será muito grande negativamente. Isso significa que não tem limites superiores nem inferiores.

Passo 7

Como não é limitado, não existe um máximo nem um mínimo no conjunto.

Passo 8

Finalmente, vamos determinar o supremo e o ínfimo de . O supremo é o menor número real que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, e o ínfimo é o maior número real que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.

Passo 9

Mas como não tem limites superiores nem inferiores (como vimos no Passo 7), não existe um supremo nem um ínfimo para .

Resposta

O conjunto tem todos os números reais como pontos de acumulação. Não existem ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo ou ínfimo para .

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