Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de 0 até . Essa questão envolve cálculo de integrais com funções trigonométricas, especificamente potências de tangente ( ) e secante ( ). Para resolver, vamos usar substituição trigonométrica e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando identidades trigonométricas básicas. Sabemos que:
Então, podemos expressar a integral da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos procurar uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão, percebemos que parece uma boa candidata para substituição, já que sua derivada envolve . Vamos definir:
Precisamos ajustar a integral para usar essa substituição.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de :
Sabemos que , então:
Substituindo isso na integral:
Agora, observamos que temos um termo , que está relacionado com .

Passo 5

Aplicando a substituição , temos . Podemos reescrever a integral da seguinte maneira:
Expandindo o polinômio:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral se torna:

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na expressão:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 até , vamos avaliar essa expressão nos limites:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral definida é .

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