Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de
de 0 até
. Essa questão envolve cálculo de integrais com funções trigonométricas, especificamente potências de tangente (
) e secante (
). Para resolver, vamos usar substituição trigonométrica e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão usando identidades trigonométricas básicas. Sabemos que:
Então, podemos expressar a integral da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos procurar uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão, percebemos que
parece uma boa candidata para substituição, já que sua derivada envolve
. Vamos definir:
Precisamos ajustar a integral para usar essa substituição.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em termos de
:
Sabemos que
, então:
Substituindo isso na integral:
Agora, observamos que temos um termo
, que está relacionado com
.
Passo 5
Aplicando a substituição
, temos
. Podemos reescrever a integral da seguinte maneira:
Expandindo o polinômio:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 até
, vamos avaliar essa expressão nos limites:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
O valor da integral definida é
.