Calcular as seguintes integrais: integral0^pi3 tg^5 x sec ^6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de 0 até . Essa questão envolve cálculo de integrais com funções trigonométricas, especificamente potências de tangente ( ) e secante ( ). Para resolver, vamos usar substituição trigonométrica e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando identidades trigonométricas básicas. Sabemos que:
tan x = sin xcos x e sec x = 1cos x
Então, podemos expressar a integral da seguinte forma:
tan^5 x sec^6 x = ( sin xcos x )^5 cdot ( 1cos x )^6 = sin^5 xcos^11 x

Passo 3

Agora, vamos procurar uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão, percebemos que u = sec x Rightarrow du = sec x tan x , dx parece uma boa candidata para substituição, já que sua derivada envolve . Vamos definir:
Precisamos ajustar a integral para usar essa substituição.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de integral tan^5 x sec^6 x , dx = integral tan^4 x cdot tan x sec^6 x , dx :
tan^4 x = (tan^2 x)^2 = (sec^2 x - 1)^2
Sabemos que integral (sec^2 x - 1)^2 cdot tan x sec^6 x , dx , então:
Substituindo isso na integral:
Agora, observamos que temos um termo , que está relacionado com .

Passo 5

Aplicando a substituição integral (sec^2 x - 1)^2 cdot tan x sec^6 x , dx = integral (u^2 - 1)^2 cdot u^5 cdot du , temos (u^2 - 1)^2 = u^4 - 2u^2 + 1 . Podemos reescrever a integral da seguinte maneira:
integral (u^4 - 2u^2 + 1) cdot u^5 , du = integral (u^9 - 2u^7 + u^5) , du
Expandindo o polinômio:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^9 , du = u^1010
integral -2u^7 , du = -2u^88 = -u^84
integral u^5 , du = u^66
Portanto, a integral se torna:
u^1010 - u^84 + u^66 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos sec^10 x10 - sec^8 x4 + sec^6 x6 + C de volta na expressão:
[ sec^10 x10 - sec^8 x4 + sec^6 x6 ]0^pi3
Como estamos calculando uma integral definida de 0 até sec ( pi3 ) = 2 , vamos avaliar essa expressão nos limites:
2^1010 - 2^84 + 2^66 = 102410 - 2564 + 646 = 102.4 - 64 + 106 = 49.066
Calculando nos limites:
Para sec(0) = 1 :
1^1010 - 1^84 + 1^66 = 110 - 14 + 16 = 0.1 - 0.25 + 0.166 = 0.016
49.066 - 0.016 = 49.05
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral definida é .

Exercícios relacionados