Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que inclui todos os números reais menores que 3. Nosso objetivo é encontrar:
- Pontos de acumulação
- Ponto de máximo
- Ponto de mínimo
- Supremo (menor limite superior)
- Ínfimo (maior limite inferior)
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de análise matemática, como limites, máximos, mínimos, supremo e ínfimo.
Passo 2
Pontos de Acumulação
Um ponto de acumulação de um conjunto
é um ponto onde, em qualquer intervalo ao redor dele, existem infinitos pontos de
. No nosso caso, como
inclui todos os números menores que 3, qualquer número menor que 3 será um ponto de acumulação, pois sempre podemos encontrar números de
próximos a ele.
Além disso, o próprio 3 também é um ponto de acumulação de
, mesmo que 3 não pertença ao conjunto, porque podemos nos aproximar de 3 infinitamente sem nunca alcançá-lo.
Passo 3
Ponto de Máximo e Mínimo
-
Ponto de Máximo: Um conjunto tem um ponto de máximo se existe um maior elemento dentro desse conjunto. No caso de
, não existe um número que seja o maior, porque sempre podemos encontrar outro número que está mais perto de 3 sem realmente ser 3. Portanto, não possui ponto de máximo. -
Ponto de Mínimo: Similarmente, para que exista um ponto de mínimo, deve haver um menor elemento no conjunto. Porém,
inclui todos os números menores que 3, indo até menos infinito. Não há um menor número real, então não possui ponto de mínimo.
Passo 4
Supremo e Ínfimo
-
Supremo (Sup): O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Para
, o menor limite superior é 3, mesmo que 3 não pertença ao conjunto. Então, o supremo de é . -
Ínfimo (Inf): O ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Como
não tem um menor limite (vai até menos infinito), o ínfimo de é .
Resposta
- Pontos de Acumulação: Todos os números reais menores ou iguais a 3, ou seja,
. - Ponto de Máximo: Não existe.
- Ponto de Mínimo: Não existe.
- Supremo: 3.
- Ínfimo:
.
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.
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Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
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