Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Então, vamos resolver a integral definida de a da função em relação a . Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente à integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador e depois integrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial de por . Isso porque o grau do numerador é maior que o do denominador.

Passo 3

Dividindo por , obtemos:

Passo 4

Agora, nossa integral fica dividida em duas partes:

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral :

Passo 6

Para a segunda integral, , simplificamos a fração:
Então, a integral se torna:
A primeira parte é simples:

Passo 7

Agora, para a última integral , percebemos que o numerador é o negativo da derivada do denominador:
No entanto, para facilitar, podemos ajustar os termos:
Agora, fazemos uma substituição , então . Porém, ajustando os coeficientes, acabamos com:
Aplicando os limites de a :
Como estamos trabalhando com valores absolutos:

Resposta

Somando todas as partes, a integral vale:
Portanto, o valor final da integral é .

Exercícios relacionados

Usando a definição de limite prove que:
b)
Determine o domínio das seguintes funções:
r)
Usando a definição de limite prove que:
h)
Considere a função .
(a) Mostre que é derivável em e calcule .