Calcular as seguintes integrais:
integral0^2 x^3+x^2-12 x+1x^2+x-12 d x

Passo 1

Então, vamos resolver a integral definida de a da função em relação a . Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente à integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador e depois integrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial de por . Isso porque o grau do numerador é maior que o do denominador.

Passo 3

Dividindo x^3 + x^2 - 12x + 1x^2 + x - 12 = x + -x^2 - 12x + 1x^2 + x - 12 por , obtemos:

Passo 4

Agora, nossa integral fica dividida em duas partes:
integral0^2 ( x + -x^2 - 12x + 1x^2 + x - 12 ) dx = integral0^2 x , dx + integral0^2 -x^2 - 12x + 1x^2 + x - 12 dx

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral integral x , dx = x^22 |0^2 = 2^22 - 0^22 = 2 :

Passo 6

Para a segunda integral, -x^2 - 12x + 1x^2 + x - 12 = -1 + -13x + 13x^2 + x - 12 , simplificamos a fração:
integral0^2 (-1) , dx + integral0^2 -13x + 13x^2 + x - 12 dx
Então, a integral se torna:
integral0^2 (-1) , dx = -x |0^2 = -2
A primeira parte é simples:

Passo 7

Agora, para a última integral ddx(x^2 + x - 12) = 2x + 1 , percebemos que o numerador é o negativo da derivada do denominador:
-13x + 13x^2 + x - 12 = -13 cdot x - 1x^2 + x - 12
No entanto, para facilitar, podemos ajustar os termos:
integral -13x + 13x^2 + x - 12 dx = -13 ln|x^2 + x - 12| + C
Agora, fazemos uma substituição -13 ln|2^2 + 2 - 12| + 13 ln|0^2 + 0 - 12| = -13 ln(-6) + 13 ln(-12) , então -13 ln(6) + 13 ln(12) = 13 ln(126) = 13 ln(2) . Porém, ajustando os coeficientes, acabamos com:
Aplicando os limites de a :
Como estamos trabalhando com valores absolutos:

Resposta

Somando todas as partes, a integral vale:
2 - 2 + 13 ln(2) = 13 ln(2)
Portanto, o valor final da integral é .

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