Determine o domínio das seguintes funções:
r)
r)
Passo 1
Vamos resolver a questão de determinar o domínio da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções que envolvem raízes quadradas e frações. Para encontrar o domínio, precisamos garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa e que o denominador da fração não seja zero.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o denominador
não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, estabelecemos:
Isso significa que
não pode ser igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
Para que a raiz quadrada seja válida, a fração deve ser maior ou igual a zero.
Passo 4
Vamos resolver a inequação
. Isso depende dos sinais do numerador
e do denominador
.
Passo 5
Identificamos os valores críticos onde o numerador ou o denominador muda de sinal:
-
-
(já vimos que )
Passo 6
Dividimos a reta numérica nos intervalos determinados por esses valores críticos e analisamos os sinais em cada intervalo:
-
Intervalo
: -
-
- A fração
(negativa)
-
-
Intervalo
: -
-
- A fração
(positiva)
-
-
Intervalo
: -
-
- A fração
(negativa)
-
Passo 7
Para que a expressão dentro da raiz seja não negativa, precisamos que a fração seja positiva ou zero. Observamos que isso acontece apenas no intervalo
.
Passo 8
Além disso, já determinamos que
para evitar divisão por zero. Portanto, combinando todas as condições, o domínio da função é o conjunto de todos os números reais entre -1 e 1.
Resposta
O domínio da função é
, ou seja,
.
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,
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em
,
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b)
b)
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