Determine o domínio das seguintes funções:
r)

Passo 1

Vamos resolver a questão de determinar o domínio da função . Aqui, estamos trabalhando com funções que envolvem raízes quadradas e frações. Para encontrar o domínio, precisamos garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa e que o denominador da fração não seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, estabelecemos:
Isso significa que não pode ser igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
Para que a raiz quadrada seja válida, a fração deve ser maior ou igual a zero.

Passo 4

Vamos resolver a inequação . Isso depende dos sinais do numerador e do denominador .

Passo 5

Identificamos os valores críticos onde o numerador ou o denominador muda de sinal:
  • (já vimos que )

Passo 6

Dividimos a reta numérica nos intervalos determinados por esses valores críticos e analisamos os sinais em cada intervalo:
  1. Intervalo :
    • A fração (negativa)
  2. Intervalo :
    • A fração (positiva)
  3. Intervalo :
    • A fração (negativa)

Passo 7

Para que a expressão dentro da raiz seja não negativa, precisamos que a fração seja positiva ou zero. Observamos que isso acontece apenas no intervalo .

Passo 8

Além disso, já determinamos que para evitar divisão por zero. Portanto, combinando todas as condições, o domínio da função é o conjunto de todos os números reais entre -1 e 1.

Resposta

O domínio da função é , ou seja, .

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b)
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