Considere a função
.
(a) Mostre que
é derivável em
e calcule
.
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de
. A questão pede para mostrar que a função
é derivável em
e calcular
. Vamos usar conceitos de derivadas laterais para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
:
Para que
seja derivável em
, ela precisa ser contínua em
e as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade de
em
. Calculamos
usando a definição para
:
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda:
Como os dois valores são iguais,
é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em
.
Derivada pela esquerda (
):
A função é
, cuja derivada é:
Então,
pela esquerda em
é:
Derivada pela direita (
):
A função é
, cuja derivada é:
Então,
pela direita em
é:
Resposta
Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais (
), a função
é derivável em
e
.
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e
. (Valor: 1,0 ponto).