Considere a função .
(a) Mostre que é derivável em e calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de . A questão pede para mostrar que a função é derivável em e calcular . Vamos usar conceitos de derivadas laterais para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função :
Para que seja derivável em , ela precisa ser contínua em e as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de em . Calculamos usando a definição para :
Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda:
Como os dois valores são iguais, é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em .
Derivada pela esquerda ( ):
A função é , cuja derivada é:
Então, pela esquerda em é:
Derivada pela direita ( ):
A função é , cuja derivada é:
Então, pela direita em é:

Resposta

Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais ( ), a função é derivável em e .

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