Usando a definição de limite prove que:
h) lim x 1 x^3=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o limite de quando se aproxima de 1 é igual a 1. Vamos usar a definição de limite, que envolve os conceitos de (epsilon) e (delta). Basicamente, queremos mostrar que, para qualquer , existe um tal que, se , então .

Passo 2

Primeiro, vamos começar com a expressão x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) . Nosso objetivo é relacionar isso com |x^3 - 1| = |x - 1||x^2 + x + 1| para encontrar uma ligação entre e .
Sabemos que:
Então,

Passo 3

Agora, precisamos limitar x^2 < 4 e x < 2 . Para isso, vamos supor que x^2 + x + 1 < 4 + 2 + 1 = 7 . Isso significa que |x^2 + x + 1| <= 7 está em um intervalo próximo a 1, especificamente entre 0 e 2.
Se , então:
Portanto:
Assim, podemos dizer que:

Passo 4

Com essa estimativa, voltamos à nossa expressão original:
|x^3 - 1| = |x - 1||x^2 + x + 1| <= |x - 1| times 7
Queremos que 7|x - 1| < varepsilon Rightarrow |x - 1| < varepsilon7 , então:

Passo 5

Agora, escolhemos de como o mínimo entre 1 e :
Dessa forma, garantimos que implica , atendendo à definição de limite.

Resposta

Portanto, provamos que:
lim x 1 x^3=1

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