Usando a definição de limite prove que:
h)
h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o limite de
quando
se aproxima de 1 é igual a 1. Vamos usar a definição de limite, que envolve os conceitos de
(epsilon) e
(delta). Basicamente, queremos mostrar que, para qualquer
, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com a expressão
. Nosso objetivo é relacionar isso com
para encontrar uma ligação entre
e
.
Sabemos que:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos limitar
. Para isso, vamos supor que
. Isso significa que
está em um intervalo próximo a 1, especificamente entre 0 e 2.
Se
, então:
Portanto:
Assim, podemos dizer que:
Passo 4
Com essa estimativa, voltamos à nossa expressão original:
Queremos que
, então:
Passo 5
Agora, escolhemos
como o mínimo entre 1 e
:
Dessa forma, garantimos que
implica
, atendendo à definição de limite.
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais:
Usando a definição de limite prove que:
b)
b)
Considere a função
.
(a) Mostre que é derivável em
e calcule
.
(a) Mostre que
Usando a definição de limite prove que:
m)
m)