Usando a definição de limite prove que:
h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o limite de quando se aproxima de 1 é igual a 1. Vamos usar a definição de limite, que envolve os conceitos de (epsilon) e (delta). Basicamente, queremos mostrar que, para qualquer , existe um tal que, se , então .

Passo 2

Primeiro, vamos começar com a expressão . Nosso objetivo é relacionar isso com para encontrar uma ligação entre e .
Sabemos que:
Então,

Passo 3

Agora, precisamos limitar . Para isso, vamos supor que . Isso significa que está em um intervalo próximo a 1, especificamente entre 0 e 2.
Se , então:
Portanto:
Assim, podemos dizer que:

Passo 4

Com essa estimativa, voltamos à nossa expressão original:
Queremos que , então:

Passo 5

Agora, escolhemos como o mínimo entre 1 e :
Dessa forma, garantimos que implica , atendendo à definição de limite.

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

Calcular as seguintes integrais:
Usando a definição de limite prove que:
b)
Considere a função .
(a) Mostre que é derivável em e calcule .
Usando a definição de limite prove que:
m)