Calcular as seguintes integrais: integral1^4 1x^4 raiz1+1x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos utilizar técnicas de substituição que facilitam a integração. Precisaremos conhecer a regra de substituição para integrais e como aplicar mudanças de variável para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Seja t^2 = 1 + 1x . Assim, elevando ao quadrado ambos os lados, temos:
Isso nos ajuda a relacionar com de forma mais simples.

Passo 3

Agora, vamos isolar 1x = t^2 - 1 Rightarrow x = 1t^2 - 1 na equação :
Com isso, expressamos em termos de .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de dx = ddt(1t^2 - 1) = -2t(t^2 - 1)^2 , dt em relação a para transformar o diferencial :
Isso nos permitirá substituir na integral original.

Passo 5

Substituindo integral 1x^4 raiz1 + 1x , dx = integral 1(1t^2 - 1)^4 cdot t cdot -2t(t^2 - 1)^2 , dt e = -2 integral t^2 (t^2 - 1)^2 , dt na integral original, temos:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos expandir (t^2 - 1)^2 = t^4 - 2t^2 + 1 :
t^2 (t^4 - 2t^2 + 1) = t^6 - 2t^4 + t^2
Multiplicando por -2 integral (t^6 - 2t^4 + t^2) , dt :
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
-2 ( t^77 - 2t^55 + t^33 ) + C
Simplificando:
- 2t^77 + 4t^55 - 2t^33 + C

Passo 8

Voltando para a variável original t = raiz1 + 11 = raiz2 , lembrando que t = raiz1 + 14 = raiz52 , substituímos os limites de integração. Quando :
E quando :

Passo 9

Aplicando os limites na expressão integrada:
[ - 2t^77 + 4t^55 - 2t^33 ]raiz52^raiz2
Calculando cada termo:
- 2(raiz2)^77 + 4(raiz2)^55 - 2(raiz2)^33 - ( - 2(raiz52)^77 + 4(raiz52)^55 - 2(raiz52)^33 )
Simplificando os cálculos:
- 2 cdot 2^7/27 + 4 cdot 2^5/25 - 2 cdot 2^3/23 + 2 cdot (raiz52)^77 - 4 cdot (raiz52)^55 + 2 cdot (raiz52)^33

Resposta

A integral - 2 cdot 2^7/27 + 4 cdot 2^5/25 - 2 cdot 2^3/23 + 2 cdot (raiz52)^77 - 4 cdot (raiz52)^55 + 2 cdot (raiz52)^33 é igual a:
Você pode calcular os valores numéricos para obter a resposta final aproximada.

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