Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos utilizar técnicas de substituição que facilitam a integração. Precisaremos conhecer a regra de substituição para integrais e como aplicar mudanças de variável para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Seja . Assim, elevando ao quadrado ambos os lados, temos:
Isso nos ajuda a relacionar com de forma mais simples.

Passo 3

Agora, vamos isolar na equação :
Com isso, expressamos em termos de .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a para transformar o diferencial :
Isso nos permitirá substituir na integral original.

Passo 5

Substituindo e na integral original, temos:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos expandir :
Multiplicando por :
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Simplificando:

Passo 8

Voltando para a variável original , lembrando que , substituímos os limites de integração. Quando :
E quando :

Passo 9

Aplicando os limites na expressão integrada:
Calculando cada termo:
Simplificando os cálculos:

Resposta

A integral é igual a:
Você pode calcular os valores numéricos para obter a resposta final aproximada.

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Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(h) ,
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
f)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
k)
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(m) ,