Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral dupla
, onde o retângulo
é definido por
. Isso significa que
e
variam de 0 a 1. Vamos precisar usar o cálculo de integrais duplas e entender como separar a função em partes que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser separada em duas integrais simples, uma em relação a
e outra em relação a
. Ou seja:
Aqui, estamos integrando com relação a
primeiro, mantendo
constante, e depois integrando o resultado com relação a
.
Passo 3
Vamos começar integrando com relação a
. A expressão
pode ser vista como
multiplicado por
, que é uma constante em relação a
. Assim, a integral interna fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de
de 0 a 1:
Portanto, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a
:
Passo 6
A integral de
em relação a
é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente:
Então, aplicando os limites de integração:
Passo 7
Agora, multiplicamos esse resultado pela constante
:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área sob a curva da função
no intervalo de
a
. Esboce o gráfico da função.
(g)