integral 2^x^2+1 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2^x^2+1 , x , dx. Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples. Observando a integral integral 2^x^2+1 , x , dx, percebemos que o expoente x^2 + 1 é uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos definir u = x^2 + 1. Isso significa que precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir na integral. Calculando a derivada, temos:
dudx = 2x implies du = 2x , dx implies du2 = x , dx

Passo 4

Agora, vamos substituir u e x , dx na integral original:
integral 2^x^2+1 , x , dx = integral 2^u cdot du2 = 12 integral 2^u , du
Aqui, simplificamos a integral retirando a constante 12.

Passo 5

A próxima etapa é integrar 2^u em relação a u. Sabemos que a integral de a^u em relação a u é:
integral a^u , du = a^uln a + C
Aplicando isso, temos:
12 integral 2^u , du = 12 cdot 2^uln 2 + C = 2^u2 ln 2 + C

Passo 6

Por fim, vamos substituir u de volta para termos em função de x:
2^u2 ln 2 + C = 2^x^2+12 ln 2 + C

Resposta

A integral é igual a 2^x^2+12 ln 2 + C.

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