integral 5 x+7(x^2+4)(x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 5 x+7(x^2+4)(x-1) , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais usando frações parciais, uma técnica que nos ajuda a simplificar frações complexas para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 5x + 7(x^2 + 4)(x - 1) em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita como a soma de duas frações:
5x + 7(x^2 + 4)(x - 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + 4
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x^2 + 4)(x - 1):
5x + 7 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x - 1)
Vamos expandir o lado direito:
5x + 7 = A x^2 + 4A + Bx^2 - Bx + Cx - C
Agrupando os termos semelhantes:
5x + 7 = (A + B)x^2 + (C - B)x + (4A - C)

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de x^2: A + B = 0
  2. Coeficiente de x: C - B = 5
  3. Termo constante: 4A - C = 7
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação: A = -B
Substituindo A = -B na terceira equação:
4(-B) - C = 7 Rightarrow -4B - C = 7
E da segunda equação:
C = B + 5
Substituindo C = B + 5 na equação anterior:
-4B - (B + 5) = 7 Rightarrow -5B - 5 = 7 Rightarrow -5B = 12 Rightarrow B = -125
Então,
A = -B = 125
e
C = B + 5 = -125 + 5 = 135

Passo 5

Com os valores de A, B e C encontrados, podemos escrever a fração original como:
5x + 7(x^2 + 4)(x - 1) = 125x - 1 + -125x + 135x^2 + 4
Simplificando as frações:
= 125(x - 1) + -12x + 135(x^2 + 4)

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 5x + 7(x^2 + 4)(x - 1) , dx = 125 integral 1x - 1 , dx + 15 integral -12x + 13x^2 + 4 , dx
A primeira integral é direta:
125 ln|x - 1|
Para a segunda integral, separamos os termos:
-12x + 13x^2 + 4 = -12 cdot xx^2 + 4 + 13 cdot 1x^2 + 4
Sabemos que:
integral xx^2 + 4 , dx = 12 ln(x^2 + 4)
e
integral 1x^2 + 4 , dx = 12 tan^-1(x2)

Passo 7

Substituindo as integrais calculadas:
integral 5x + 7(x^2 + 4)(x - 1) , dx = 125 ln|x - 1| - 125 cdot 12 ln(x^2 + 4) + 135 cdot 12 tan^-1(x2) + C
Simplificando os coeficientes:
= 125 ln|x - 1| - 65 ln(x^2 + 4) + 1310 tan^-1(x2) + C

Resposta

integral 5x + 7(x^2 + 4)(x - 1) , dx = 125 ln|x - 1| - 65 ln(x^2 + 4) + 1310 tan^-1(x2) + C

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