Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais usando frações parciais, uma técnica que nos ajuda a simplificar frações complexas para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita como a soma de duas frações:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Vamos expandir o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo
na terceira equação:
E da segunda equação:
Substituindo
na equação anterior:
Então,
e
Passo 5
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos escrever a fração original como:
Simplificando as frações:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, separamos os termos:
Sabemos que:
e
Passo 7
Substituindo as integrais calculadas:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
As integrais abaixo não podem ser calculadas extamente, em termos de funções elementares, com a ordem da integração dada. Inverta a ordem da integração e faça os cálculos.
.
A energia armazenada em um capacitor é proporcional à área sob a curva de tensão
no intervalo de
a
. Determine a energia total armazenada. Esboce o gráfico da função.