Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está no retângulo
. O enunciado pede para calcular
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudanças de ordem de integração ou substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
. Perceba que o termo
aparece dentro do cosseno. Isso sugere que uma substituição pode simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável
.
Passo 3
Com essa substituição, precisamos calcular o diferencial
. Derivando
em relação a
e
, temos:
No entanto, para facilitar a integração, vamos tratar
como constante em relação a
. Isso significa que
ao integrar em relação a
, então:
Isolando
:
Passo 4
Agora, substituímos na integral original:
Note que os limites de
vão de
, quando
é
, e quando
é
.
Passo 5
Vamos integrar em relação a
:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
Exercícios relacionados
(a) Calcule o volume do sólido limitado pela superfície
e os planos
e
.
Resolva as equações diferenciais:
Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
Calcule as integrais, para as regiões
indicadas.
, onde
é limitada por
e
.