Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está no retângulo . O enunciado pede para calcular . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudanças de ordem de integração ou substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando: . Perceba que o termo aparece dentro do cosseno. Isso sugere que uma substituição pode simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável .

Passo 3

Com essa substituição, precisamos calcular o diferencial . Derivando em relação a e , temos:
No entanto, para facilitar a integração, vamos tratar como constante em relação a . Isso significa que ao integrar em relação a , então:
Isolando :

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
Note que os limites de vão de , quando é , e quando é .

Passo 5

Vamos integrar em relação a :
Usando a identidade trigonométrica , temos:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Resposta

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(a) Calcule o volume do sólido limitado pela superfície e os planos e .
Resolva as equações diferenciais:
Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
Calcule as integrais, para as regiões indicadas.
, onde é limitada por e .