Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
integral duplaD x cos (x^2+y) d A, D=[0, raizpi] times[0, pi2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está no retângulo . O enunciado pede para calcular . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudanças de ordem de integração ou substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando: . Perceba que o termo aparece dentro do cosseno. Isso sugere que uma substituição pode simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável .

Passo 3

Com essa substituição, precisamos calcular o diferencial du = 2x , dx + dy . Derivando du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 e , temos:
No entanto, para facilitar a integração, vamos tratar como constante em relação a . Isso significa que ao integrar em relação a , então:
Isolando :

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
integral duplaD x cos(x^2 + y) , dA = integral0^pi2 integral0^raizpi x cos(x^2 + y) , dx , dy = integral0^pi2 integralu= y^u= pi + y cos u2 , du , dy
Note que os limites de vão de , quando é , e quando é .

Passo 5

Vamos integrar em relação a integraly^pi + y cos u2 , du = 12 [ sin u ]y^pi + y = 12 ( sin(pi + y) - sin(y) ) :
12 ( -sin y - sin y ) = 12 (-2 sin y) = -sin y
Usando a identidade trigonométrica , temos:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^pi2 (-sin y) , dy = [ cos y ]0^pi2 = cos(pi2) - cos(0) = 0 - 1 = -1 :

Resposta

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