(a) Calcule o volume do sólido limitado pela superfície
e os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que está limitado pela superfície
e pelos planos
,
e
. Isso envolve cálculo de múltiplas integrais, mais especificamente, integrais duplas, já que estamos lidando com volume em três dimensões. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada variável (x, y e z) e aplicar as fórmulas de integrais para encontrar o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. A superfície
é uma parábola invertida em relação ao eixo z. O plano
é o plano xy, e os planos
e
são planos verticais paralelos ao eixo yz.
Para calcular o volume, vamos definir os limites para cada variável:
- x varia de -2 a 2.
- y varia de acordo com a superfície
. Como , temos , que simplifica para , ou seja, varia de -1 a 1. - z varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, podemos configurar a integral tripla para o volume
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Então:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
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