Resolva as equações diferenciais: y' = t^2 / (y (1 + t^3))

Passo 1

A gente tem uma equação diferencial do tipo . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais, mais especificamente equações diferenciáveis separáveis. Vamos resolver essa equação passo a passo, separando as variáveis e e integrando cada lado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por e por para isolar as variáveis:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que, ao separar as variáveis, conseguimos integrar cada lado em termos de uma única variável.
Integramos o lado esquerdo:
E o lado direito:
Para resolver a integral , usamos a substituição . Assim, ou .
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, igualamos as duas integrais resultantes:
Onde é a constante de integração geral. Para isolar , multiplicamos ambos os lados por 2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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