Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular a integral dupla
. A matéria aqui envolve cálculo de integrais duplas e mudança de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região de integração. Os limites para
são de
a
e para
de
a
. Isso descreve um semicírculo de raio 1 no lado direito do plano xy (porque
vai de 0 até
). Em coordenadas polares, um ponto
é representado por
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo com o eixo x.
Passo 3
A função que estamos integrando é
, que em coordenadas polares simplifica para
, já que
. Além disso, ao mudar para coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como estamos integrando sobre um semicírculo de raio 1 à direita,
vai de 0 a 1 e
vai de
a
para cobrir todo o semicírculo.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Integrar
sobre:
(b) o domínio .
(b) o domínio
Integrar
sobre:
(a) o domínio
(a) o domínio
Dos seguintes subconjuntos de
diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
b) ;
b)
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(b)
(b)