Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(a) integral-1^1 integral0^raiz1-y^2 raizx^2+y^2 d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular a integral dupla . A matéria aqui envolve cálculo de integrais duplas e mudança de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região de integração. Os limites para são de a e para de a . Isso descreve um semicírculo de raio 1 no lado direito do plano xy (porque vai de 0 até ). Em coordenadas polares, um ponto é representado por , onde é a distância até a origem e é o ângulo com o eixo x.

Passo 3

A função que estamos integrando é , que em coordenadas polares simplifica para , já que . Além disso, ao mudar para coordenadas polares, o elemento de área se transforma em .

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como estamos integrando sobre um semicírculo de raio 1 à direita, vai de 0 a 1 e vai de a para cobrir todo o semicírculo.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral-1^1 integral0^raiz1-y^2 raizx^2+y^2 , dx , dy = integral-pi2^pi2 integral0^1 r cdot r , dr , dtheta = integral-pi2^pi2 integral0^1 r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13 :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral-pi2^pi2 13 , dtheta = 13 [ theta ]-pi2^pi2 = 13 ( pi2 - (-pi2) ) = 13 cdot pi = pi3

Resposta

A integral vale .

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