Integrar f(x, y) = x + y sobre:
(b) o domínio D = {(x, y) | 1 <= x² + y² <= 4, x >= 0, y >= 0}.

Passo 1

Vamos resolver a integral da função sobre o domínio . Isso envolve cálculo de integrais duplas em coordenadas polares, já que a região é delimitada por círculos e está no primeiro quadrante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A desigualdade descreve uma faixa entre dois círculos com raios 1 e 2, respectivamente. Além disso, as condições e indicam que estamos trabalhando apenas no primeiro quadrante.

Passo 3

Como a região é circular e está no primeiro quadrante, é mais fácil usar coordenadas polares para realizar a integral. Lembrando que em coordenadas polares:
E o elemento de área é dado por:

Passo 4

Vamos reescrever a função em coordenadas polares:

Passo 5

Determinar os limites de integração. Como varia entre os raios 1 e 2, e varia de 0 a (primeiro quadrante), temos:

Passo 6

Agora, montar a integral dupla em coordenadas polares:
Simplificando:

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Somando as duas integrais:

Resposta

Multiplicando os resultados:
Portanto, o valor da integral é .

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