Integrar sobre:
(b) o domínio .

Passo 1

Vamos resolver a integral da função sobre o domínio . Isso envolve cálculo de integrais duplas em coordenadas polares, já que a região é delimitada por círculos e está no primeiro quadrante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A desigualdade descreve uma faixa entre dois círculos com raios 1 e 2, respectivamente. Além disso, as condições e indicam que estamos trabalhando apenas no primeiro quadrante.

Passo 3

Como a região é circular e está no primeiro quadrante, é mais fácil usar coordenadas polares para realizar a integral. Lembrando que em coordenadas polares:
E o elemento de área é dado por:

Passo 4

Vamos reescrever a função em coordenadas polares:

Passo 5

Determinar os limites de integração. Como varia entre os raios 1 e 2, e varia de 0 a (primeiro quadrante), temos:

Passo 6

Agora, montar a integral dupla em coordenadas polares:
Simplificando:

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Somando as duas integrais:

Resposta

Multiplicando os resultados:
Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Integrar sobre:
(a) o domínio
Integrar sobre:
(b) o anel .
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(a) .
Dos seguintes subconjuntos de diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
b) ;