Dos seguintes subconjuntos de diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
b) ;

Passo 1

Vamos analisar o subconjunto . Nosso objetivo é determinar se esse conjunto é aberto, fechado, limitado e, por fim, calcular sua fronteira. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de topologia, como conjuntos abertos e fechados, além de noções de limites e fronteiras.

Passo 2

Conjunto Aberto ou Fechado:
Um conjunto é aberto se para todo ponto dentro dele, existe uma pequena “bolinha” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Por outro lado, um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de limite ou fronteira.
No nosso caso, o conjunto é definido por e :
  • A condição é uma desigualdade estrita, o que significa que a linha não está incluída no conjunto.
  • A condição é uma desigualdade não estrita, então a linha está incluída no conjunto.
Como existe uma fronteira (por exemplo, a linha não está incluída), o conjunto não é aberto. Além disso, como todas as linhas de fronteira (como ) estão incluídas, o conjunto não é fechado.

Passo 3

Conjunto Limitado ou Ilimitado:
Um conjunto é limitado se todos os seus pontos estão dentro de uma distância finita de algum ponto de referência, geralmente a origem. Caso contrário, é ilimitado.
No nosso conjunto:
  • A condição permite que cresça sem limites positivos.
  • A condição restringe a valores menores ou iguais a 2, mas não impede que os valores de sejam muito negativos.
Como pode crescer indefinidamente e pode se estender negativamente sem limites, o conjunto é ilimitado.

Passo 4

Cálculo da Fronteira:
A fronteira de um conjunto consiste nos pontos onde ele “encaixa” com o seu complemento. Para determinar a fronteira do nosso conjunto:
  • A fronteira vertical está na linha porque o conjunto inclui pontos onde está just acima de 1, mas não inclui .
  • A fronteira horizontal está na linha porque o conjunto inclui todos os pontos com .
  • Não há outras fronteiras, já que pode crescer indefinidamente para a direita e pode se estender indefinidamente para baixo.
Portanto, a fronteira é composta pelas linhas e .

Resposta

O conjunto não é aberto, não é fechado, é ilimitado, e sua fronteira é composta pelas linhas e .

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Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(a) .
Integrar sobre:
(b) o domínio .
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(b)