Dos seguintes subconjuntos de
diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
b)
;
b)
Passo 1
Vamos analisar o subconjunto
. Nosso objetivo é determinar se esse conjunto é aberto, fechado, limitado e, por fim, calcular sua fronteira. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de topologia, como conjuntos abertos e fechados, além de noções de limites e fronteiras.
Passo 2
Conjunto Aberto ou Fechado:
Um conjunto é aberto se para todo ponto dentro dele, existe uma pequena “bolinha” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Por outro lado, um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de limite ou fronteira.
No nosso caso, o conjunto é definido por
e
:
- A condição
é uma desigualdade estrita, o que significa que a linha não está incluída no conjunto. - A condição
é uma desigualdade não estrita, então a linha está incluída no conjunto.
Como existe uma fronteira (por exemplo, a linha
não está incluída), o conjunto não é aberto. Além disso, como todas as linhas de fronteira (como
) estão incluídas, o conjunto não é fechado.
Passo 3
Conjunto Limitado ou Ilimitado:
Um conjunto é limitado se todos os seus pontos estão dentro de uma distância finita de algum ponto de referência, geralmente a origem. Caso contrário, é ilimitado.
No nosso conjunto:
- A condição
permite que cresça sem limites positivos. - A condição
restringe a valores menores ou iguais a 2, mas não impede que os valores de sejam muito negativos.
Como
pode crescer indefinidamente e
pode se estender negativamente sem limites, o conjunto é ilimitado.
Passo 4
Cálculo da Fronteira:
A fronteira de um conjunto consiste nos pontos onde ele “encaixa” com o seu complemento. Para determinar a fronteira do nosso conjunto:
- A fronteira vertical está na linha
porque o conjunto inclui pontos onde está just acima de 1, mas não inclui . - A fronteira horizontal está na linha
porque o conjunto inclui todos os pontos com . - Não há outras fronteiras, já que
pode crescer indefinidamente para a direita e pode se estender indefinidamente para baixo.
Portanto, a fronteira é composta pelas linhas
e
.
Resposta
O conjunto
não é aberto, não é fechado, é ilimitado, e sua fronteira é composta pelas linhas
e
.
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(a) .
(a)
Integrar
sobre:
(b) o domínio .
(b) o domínio
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(b)
(b)