Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(b) integral0^2 integral0^raiz1-x^2 raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^2 integral0^raiz1-x^2 raizx^2+y^2 , dy , dx usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de cálculo integral e transformação de coordenadas. Para resolver, vamos precisar entender como converter integrais de coordenadas cartesianas para polares e aplicar a fórmula do Jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos x variando de 0 a 2 e, para cada x, y varia de 0 até raiz1 - x^2. Isso descreve uma parte de um círculo de raio 1 no primeiro quadrante (onde x >= 0 e y >= 0).

Passo 3

Agora, vamos trocar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • raizx^2 + y^2 = r
  • O Jacobiano da transformação é r , dr , dtheta

Passo 4

Precisamos determinar os novos limites para r e theta. Como a região é um quarto de círculo de raio 1:
  • r varia de 0 a 1
  • theta varia de 0 a pi2 (90 graus)

Passo 5

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral0^pi2 integral0^1 r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^1 r^2 , dr , dtheta
Aqui, o primeiro r vem de raizx^2 + y^2 = r e o segundo r é do Jacobiano.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa em relação a theta:
integral0^pi2 13 , dtheta = 13 [ theta ]0^pi2 = 13 cdot pi2 = pi6

Resposta

O valor da integral é pi6.

Exercícios relacionados