Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de cálculo integral e transformação de coordenadas. Para resolver, vamos precisar entender como converter integrais de coordenadas cartesianas para polares e aplicar a fórmula do Jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 até . Isso descreve uma parte de um círculo de raio 1 no primeiro quadrante (onde e ).

Passo 3

Agora, vamos trocar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
  • O Jacobiano da transformação é

Passo 4

Precisamos determinar os novos limites para e . Como a região é um quarto de círculo de raio 1:
  • varia de 0 a 1
  • varia de 0 a (90 graus)

Passo 5

Substituindo na integral original, ficamos com:
Aqui, o primeiro vem de e o segundo é do Jacobiano.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Dos seguintes subconjuntos de diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
b) ;
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(a) .
Calcule e ; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto
b) ;