Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de cálculo integral e transformação de coordenadas. Para resolver, vamos precisar entender como converter integrais de coordenadas cartesianas para polares e aplicar a fórmula do Jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 a 2 e, para cada
,
varia de 0 até
. Isso descreve uma parte de um círculo de raio 1 no primeiro quadrante (onde
e
).
Passo 3
Agora, vamos trocar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
-
-
-
- O Jacobiano da transformação é
Passo 4
Precisamos determinar os novos limites para
e
. Como a região é um quarto de círculo de raio 1:
-
varia de 0 a 1 -
varia de 0 a (90 graus)
Passo 5
Substituindo na integral original, ficamos com:
Aqui, o primeiro
vem de
e o segundo
é do Jacobiano.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral externa em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Dos seguintes subconjuntos de
diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
b) ;
b)
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(a) .
(a)
Calcule
e
; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto
b) ;
b)