Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 e^-(x^2+y^2) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 e^-(x^2+y^2) , dx , dy
Então, o que precisamos aqui é entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a resolução dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As limitações de e indicam que estamos integrando sobre um círculo de raio 1 centrado na origem. Isso é perfeito para usarmos coordenadas polares, onde e .

Passo 3

Em coordenadas polares, a expressão e^-(x^2 + y^2) = e^-r^2 simplifica para . Portanto, a função dentro da integral fica:

Passo 4

Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área integral0^2pi integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta se transforma em . Então, nossa integral agora será:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr primeiro:
12 integral0^1 e^-u , du = 12 [ -e^-u ]0^1 = 12 ( -e^-1 + 1 ) = 1 - e^-12
Fazendo uma substituição, deixe , então ou . A integral se torna:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral0^2pi 1 - e^-12 , dtheta = 1 - e^-12 cdot [ theta ]0^2pi = 1 - e^-12 cdot 2pi = pi (1 - e^-1) :

Resposta

A integral vale .

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