Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Então, o que precisamos aqui é entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a resolução dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As limitações de e indicam que estamos integrando sobre um círculo de raio 1 centrado na origem. Isso é perfeito para usarmos coordenadas polares, onde e .

Passo 3

Em coordenadas polares, a expressão simplifica para . Portanto, a função dentro da integral fica:

Passo 4

Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área se transforma em . Então, nossa integral agora será:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
Fazendo uma substituição, deixe , então ou . A integral se torna:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

A integral vale .

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Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular :