Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Então, o que precisamos aqui é entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a resolução dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As limitações de
e
indicam que estamos integrando sobre um círculo de raio 1 centrado na origem. Isso é perfeito para usarmos coordenadas polares, onde
e
.
Passo 3
Em coordenadas polares, a expressão
simplifica para
. Portanto, a função dentro da integral fica:
Passo 4
Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
. Então, nossa integral agora será:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Fazendo uma substituição, deixe
, então
ou
. A integral se torna:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
A integral vale
.
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