Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com uma região no plano
onde
varia de 0 a 1 e
varia de
a
. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para regiões circulares ou que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A condição
implica que:
Isso acontece para
. Então, a região é simétrica em relação ao eixo
e está limitada entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas
para polares
, onde:
E o elemento de área
se transforma em
.
Passo 4
A função a ser integrada,
, em coordenadas polares fica:
Então, a integral original se torna:
Passo 5
Precisamos determinar os limites de
e
. Observando a região:
-
varia de 0 a 1, o que em polares significa que vai de 0 a 1. - Para
, já que a região é simétrica, varia de a .
No entanto, como a região está limitada por
, vamos encontrar a relação entre
e
:
Simplificando:
Então, para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 6
Agora, podemos reescrever a integral em coordenadas polares com os novos limites:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral se reduz a:
Sabemos que a função
é par, então podemos simplificar multiplicando por 2 e integrando de 0 a
:
Passo 9
Usamos a fórmula de redução para integrar
:
Aplicando para
:
E sabemos que:
Passo 10
Combinando tudo, temos:
Resposta
O valor da integral é
.
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Mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções em série LI em torno do ponto singular regular
. Encontre a solução geral em
.
Simplifique as expressões:
.
2
Simplifique:
(a)
2
Simplifique:
(a)
Simplifique:
;
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
.