Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com uma região no plano onde varia de 0 a 1 e varia de a . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para regiões circulares ou que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A condição implica que:
Isso acontece para . Então, a região é simétrica em relação ao eixo e está limitada entre e .

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas para polares , onde:
E o elemento de área se transforma em .

Passo 4

A função a ser integrada, , em coordenadas polares fica:
Então, a integral original se torna:

Passo 5

Precisamos determinar os limites de e . Observando a região:
  • varia de 0 a 1, o que em polares significa que vai de 0 a 1.
  • Para , já que a região é simétrica, varia de a .
No entanto, como a região está limitada por , vamos encontrar a relação entre e :
Simplificando:
Então, para cada , varia de 0 a .

Passo 6

Agora, podemos reescrever a integral em coordenadas polares com os novos limites:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, a integral se reduz a:
Sabemos que a função é par, então podemos simplificar multiplicando por 2 e integrando de 0 a :

Passo 9

Usamos a fórmula de redução para integrar :
Aplicando para :
E sabemos que:

Passo 10

Combinando tudo, temos:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções em série LI em torno do ponto singular regular . Encontre a solução geral em .
Simplifique as expressões: .
2
Simplifique:
(a)
Simplifique: ;
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
.