Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
integral0^1 integral-raizx-x^2^raizx-x^2(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular:
integral0^1 integral-raizx-x^2^raizx-x^2(x^2+y^2) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com uma região no plano onde varia de 0 a 1 e varia de a . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para regiões circulares ou que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A condição x - x^2 >= 0 Rightarrow x(1 - x) >= 0 implica que:
Isso acontece para . Então, a região é simétrica em relação ao eixo e está limitada entre e .

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas x = r cos theta y = r sin theta para polares , onde:
E o elemento de área se transforma em .

Passo 4

A função a ser integrada, x^2 + y^2 = r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2 , em coordenadas polares fica:
integral integral r^2 cdot r , dr , dtheta = integral integral r^3 , dr , dtheta
Então, a integral original se torna:

Passo 5

Precisamos determinar os limites de y^2 = x - x^2 Rightarrow (r sin theta)^2 = r cos theta - (r cos theta)^2 e r^2 sin^2 theta = r cos theta - r^2 cos^2 theta r sin^2 theta = cos theta - r cos^2 theta r (sin^2 theta + cos^2 theta) = cos theta r = cos theta . Observando a região:
  • varia de 0 a 1, o que em polares significa que vai de 0 a 1.
  • Para , já que a região é simétrica, varia de a .
No entanto, como a região está limitada por , vamos encontrar a relação entre e :
Simplificando:
Então, para cada , varia de 0 a .

Passo 6

Agora, podemos reescrever a integral em coordenadas polares com os novos limites:
integral-pi2^pi2 integral0^cos theta r^3 , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^cos theta r^3 , dr = [ r^44 ]0^cos theta = (cos theta)^44 :

Passo 8

Agora, a integral se reduz a:
14 integral-pi2^pi2 (cos theta)^4 , dtheta
Sabemos que a função 14 cdot 2 integral0^pi2 (cos theta)^4 , dtheta = 12 integral0^pi2 (cos theta)^4 , dtheta é par, então podemos simplificar multiplicando por 2 e integrando de 0 a :

Passo 9

Usamos a fórmula de redução para integrar integral (cos theta)^n , dtheta = (n-1)n integral (cos theta)^n-2 , dtheta :
integral (cos theta)^4 , dtheta = 34 integral (cos theta)^2 , dtheta
Aplicando para integral (cos theta)^2 , dtheta = theta2 + sin 2theta4 :
E sabemos que:

Passo 10

Combinando tudo, temos:
12 cdot 34 [ theta2 + sin 2theta4 ]0^pi2 = 38 ( pi22 + sin pi4 - 0 ) = 38 cdot pi4 = 3pi32

Resposta

O valor da integral é .

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