Calcule a transformada de Laplace
:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a transformada de Laplace da função
que é definida da seguinte forma:
Aqui, estamos lidando com Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular funções definidas por partes usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando a função degrau unitário de Heaviside, que ajuda a expressar funções que mudam de valor em determinados pontos. A função pode ser escrita como:
Aqui,
é a função degrau que vale 1 para
e 0 caso contrário. Isso significa que
é igual a entre 0 e
e zero depois de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace à função reescrita. Usando a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, temos:
Sabemos que . Então, a primeira parte fica:
Passo 4
Para a segunda parte, usamos a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace:
Aplicando isso à nossa expressão:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Podemos fatorar
:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
.
Simplifique:
;
Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
:
Nos Exercícios 23-34, encontre
e