Calcule a transformada de Laplace :

Passo 1

Beleza, vamos calcular a transformada de Laplace da função que é definida da seguinte forma:
Aqui, estamos lidando com Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular funções definidas por partes usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a função degrau unitário de Heaviside, que ajuda a expressar funções que mudam de valor em determinados pontos. A função pode ser escrita como:
Aqui, é a função degrau que vale 1 para e 0 caso contrário. Isso significa que é igual a entre 0 e e zero depois de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace à função reescrita. Usando a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, temos:
Sabemos que . Então, a primeira parte fica:

Passo 4

Para a segunda parte, usamos a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace:
Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Podemos fatorar :

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
.
Simplifique: ;
Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular :
Nos Exercícios 23-34, encontre e