Mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções em série LI em torno do ponto singular regular . Encontre a solução geral em .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é o método de Frobenius, que é usado para encontrar soluções em série de equações diferenciais perto de pontos singulares. Vamos precisar identificar o ponto singular, encontrar as raízes indiciais e construir as soluções em série.

Passo 2

Identificamos que é um ponto singular regular da equação. Isso porque, ao dividir a equação por , os coeficientes de e ficam com potências de que indicam um ponto singular regular.

Passo 3

Aplicamos o método de Frobenius. Primeiro, assumimos uma solução na forma de série de potência:
Onde é a raiz indicial que precisamos encontrar.

Passo 4

Substituímos , e na equação original:
Substituindo na equação:

Passo 5

Simplificamos os termos:
Para igualar os coeficientes de a zero, ajustamos os índices conforme necessário.

Passo 6

Para encontrar a equação indicial, consideramos o menor expoente, geralmente :
Resolvendo a equação quadrática para :

Passo 7

As raízes indiciais são e . A diferença entre elas é , que não é um número inteiro. Portanto, as soluções em série serão linearmente independentes (LI).

Passo 8

Construímos as duas soluções em série usando os valores de e :
Como a diferença entre as raízes não é inteira, não precisamos modificar .

Passo 9

A solução geral é uma combinação linear das duas soluções independentes:

Resposta

A solução geral para a equação diferencial no intervalo é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Simplifique as expressões: .
2
Simplifique:
(a)
Выполните действие:
.
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
Simplifique: ;