Mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções em série LI em torno do ponto singular regular
. Encontre a solução geral em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é o método de Frobenius, que é usado para encontrar soluções em série de equações diferenciais perto de pontos singulares. Vamos precisar identificar o ponto singular, encontrar as raízes indiciais e construir as soluções em série.
Passo 2
Identificamos que
é um ponto singular regular da equação. Isso porque, ao dividir a equação por
, os coeficientes de
e
ficam com potências de
que indicam um ponto singular regular.
Passo 3
Aplicamos o método de Frobenius. Primeiro, assumimos uma solução na forma de série de potência:
Onde
é a raiz indicial que precisamos encontrar.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original:
Substituindo na equação:
Passo 5
Simplificamos os termos:
Para igualar os coeficientes de
a zero, ajustamos os índices conforme necessário.
Passo 6
Para encontrar a equação indicial, consideramos o menor expoente, geralmente
:
Resolvendo a equação quadrática para
:
Passo 7
As raízes indiciais são
e
. A diferença entre elas é
, que não é um número inteiro. Portanto, as soluções em série serão linearmente independentes (LI).
Passo 8
Construímos as duas soluções em série usando os valores de
e
:
Como a diferença entre as raízes não é inteira, não precisamos modificar
.
Passo 9
A solução geral é uma combinação linear das duas soluções independentes:
Resposta
A solução geral para a equação diferencial
no intervalo
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Simplifique as expressões:
.
2
Simplifique:
(a)
2
Simplifique:
(a)
Выполните действие:
.
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
Simplifique:
;