Calcule e ; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto
b) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a primeira e a segunda derivada de uma função vetorial, que é basicamente uma função que tem várias componentes (i, j, k). Depois disso, vamos encontrar a reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde t₀ = 1. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções de cada componente e como montar a reta tangente usando essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função vetorial que nos foi dada:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de em relação a t, ou seja, . Isso significa que vamos derivar cada componente da função separadamente.
Para a componente de :
Para a componente de :
Para a componente de :
Então, a primeira derivada é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a t, ou seja, . Para isso, derivamos novamente cada componente da primeira derivada.
Para a componente de :
Para a componente de :
Para a componente de :
Então, a segunda derivada é:

Passo 5

Agora que temos as derivadas, vamos calcular os valores delas no ponto .
Primeira derivada em :
Segunda derivada em :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta tangente ao gráfico de no ponto .
A fórmula da reta tangente para uma função vetorial é:
Primeiro, calculamos em :
Usando a primeira derivada que calculamos no Passo 5:
Então, a reta tangente fica:

Resposta

As derivadas são:
A reta tangente ao gráfico de no ponto é:
Ou simplificando:

Exercícios relacionados

Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(b)
Dizemos que uma curva , com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se , para todo . Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
c)
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
k)