(!) Determine o conjunto dos pontos de acumulação de:
a) Z no espaço R;

Passo 1

Vamos resolver um exercício de topologia onde precisamos encontrar o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dos números inteiros ( Z) no espaço dos números reais ( R). Para isso, vamos precisar entender o que são pontos de acumulação e como identificar esses pontos em um conjunto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de acumulação. Um ponto x em R é chamado de ponto de acumulação de um conjunto S ⊆ R se, para todo intervalo aberto ao redor de x, existe pelo menos um ponto de S diferente de x dentro desse intervalo. Em outras palavras, você nunca pode “ficar sem encontrar” pontos de S perto de x, não importa quão próximo você olhe.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dos números inteiros Z no espaço dos números reais R. Os números inteiros são … bem, são números como …, -2, -1, 0, 1, 2, … e assim por diante, sem decimais.

Passo 4

Para verificar se existe algum ponto de acumulação, vamos pensar em qualquer número real x. Se tentarmos encontrar outros números inteiros perto de x, perceberemos que sempre existe uma distância mínima entre x e os inteiros mais próximos. Isso significa que sempre podemos encontrar um intervalo ao redor de x que não contém nenhum outro número inteiro além, possivelmente, do próprio x.

Passo 5

Como não conseguimos encontrar pontos inteiros arbitrariamente próximos a qualquer número real x, concluímos que não há nenhum ponto de acumulação para o conjunto dos números inteiros em R.

Resposta

O conjunto dos pontos de acumulação de Z no espaço R é o conjunto vazio.

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