(!) Determine o conjunto dos pontos de acumulação de:
a)
no espaço
;
a)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de topologia onde precisamos encontrar o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dos números inteiros (
) no espaço dos números reais (
). Para isso, vamos precisar entender o que são pontos de acumulação e como identificar esses pontos em um conjunto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto de acumulação. Um ponto
é chamado de ponto de acumulação de um conjunto
se, para todo intervalo aberto ao redor de
, existe pelo menos um ponto de
diferente de
dentro desse intervalo. Em outras palavras, você nunca pode “ficar sem encontrar” pontos de
perto de
, não importa quão próximo você olhe.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto dos números inteiros
no espaço dos números reais
. Os números inteiros são … bem, são números como …, -2, -1, 0, 1, 2, … e assim por diante, sem decimais.
Passo 4
Para verificar se existe algum ponto de acumulação, vamos pensar em qualquer número real
. Se tentarmos encontrar outros números inteiros perto de
, perceberemos que sempre existe uma distância mínima entre
e os inteiros mais próximos. Isso significa que sempre podemos encontrar um intervalo ao redor de
que não contém nenhum outro número inteiro além, possivelmente, do próprio
.
Passo 5
Como não conseguimos encontrar pontos inteiros arbitrariamente próximos a qualquer número real
, concluímos que não há nenhum ponto de acumulação para o conjunto dos números inteiros em
.
Resposta
O conjunto dos pontos de acumulação de
no espaço
é o conjunto vazio.