Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular a integral . Vamos precisar transformar essa integral de coordenadas cartesianas para polares e utilizar conceitos de cálculo multivariado para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a e, para cada , varia de 0 a . Isso descreve uma parte do primeiro quadrante de um círculo de raio 1.

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que:

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como vai de 0 a , e vai de 0 até , isso corresponde a:
[
\theta) variando de 0 a , mas para simplificar, observamos que vai de 0 a 1 e de 0 a .

Passo 5

Substituindo na integral original, temos:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos separar as integrais, já que são funções de e separadas:

Passo 7

Calculando a integral em :

Passo 8

Calculando a integral em :
Vamos usar a substituição , então :

Passo 9

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Seja o domínio limitado pelas linhas retas , e . Avaliar as seguintes integrais:
(b) .
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
k)
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
e)
Seja o domínio limitado pelas linhas retas , e . Avaliar as seguintes integrais:
(a)