Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
f) integral0^1 / 2 integral0^raiz1-x^2 x y raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular a integral . Vamos precisar transformar essa integral de coordenadas cartesianas para polares e utilizar conceitos de cálculo multivariado para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a e, para cada , varia de 0 a . Isso descreve uma parte do primeiro quadrante de um círculo de raio 1.

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta y = r sintheta raizx^2 + y^2 = r dA = r , dr , dtheta

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como vai de 0 a , e vai de 0 até , isso corresponde a:
[
\theta) variando de 0 a , mas para simplificar, observamos que vai de 0 a 1 e de 0 a .

Passo 5

Substituindo na integral original, temos:
integral0^pi/2 integral0^1 (r costheta)(r sintheta) cdot r cdot r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
integral0^pi/2 integral0^1 r^4 costheta sintheta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos separar as integrais, já que são funções de ( integral0^1 r^4 , dr ) ( integral0^pi/2 costheta sintheta , dtheta ) e separadas:

Passo 7

Calculando a integral em integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15 :

Passo 8

Calculando a integral em integral0^pi/2 costheta sintheta , dtheta :
integral0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12
Vamos usar a substituição , então :

Passo 9

Multiplicando os resultados das integrais:
15 times 12 = 110

Resposta

A integral dupla vale .

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