Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular a integral
. Vamos precisar transformar essa integral de coordenadas cartesianas para polares e utilizar conceitos de cálculo multivariado para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 a
e, para cada
,
varia de 0 a
. Isso descreve uma parte do primeiro quadrante de um círculo de raio 1.
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que:
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como
vai de 0 a
, e
vai de 0 até
, isso corresponde a:
[
\theta) variando de 0 a , mas para simplificar, observamos que
vai de 0 a 1 e
de 0 a
.
\theta) variando de 0 a
Passo 5
Substituindo na integral original, temos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos separar as integrais, já que são funções de
e
separadas:
Passo 7
Calculando a integral em
:
Passo 8
Calculando a integral em
:
Vamos usar a substituição
, então
:
Passo 9
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Seja
o domínio limitado pelas linhas retas
, e
. Avaliar as seguintes integrais:
(b) .
(b)
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
k)
k)
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
e)
e)
Seja
o domínio limitado pelas linhas retas
, e
. Avaliar as seguintes integrais:
(a)
(a)