Seja D o domínio limitado pelas linhas retas x-y=0, x-y= pi, x+2 y=0, e x+2 y=pi2. Avaliar as seguintes integrais:
(b) integral dupla sin (x-y) cos (x+2 y) d A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla sobre o domínio limitado pelas retas , , e . Para isso, vamos usar mudança de variável e integração por partes, que são técnicas de cálculo importantes para resolver integrais mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio de integração u = x - y . As equações das retas são:
  1. v = x + 2y
Podemos notar que faz sentido fazer uma mudança de variável para simplificar a região de integração. Vamos escolher novas variáveis e tais que:

Passo 3

Agora, precisamos expressar u = x - y Rightarrow x = u + y e v = (u + y) + 2y = u + 3y Rightarrow y = v - u3 em termos de x = u + v - u3 = 2u + v3 e . Temos:
Substituindo na segunda equação:
E, portanto:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o Jacobiano da transformação para mudar a variável da integral. O Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado por:
partial xpartial u = 23, partial xpartial v = 13
Calculando as derivadas parciais:
partial ypartial u = -13, partial ypartial v = 13
J = ( 23 times 13 ) - ( 13 times -13 ) = 29 + 19 = 39 = 13
Então,

Passo 5

Com a mudança de variável, a integral torna-se:
integral duplaD sin(u) cos(v) cdot | J | , du , dv = integral duplaD' sin(u) cos(v) cdot 13 , du , dv
Onde 0 <= u <= pi é o novo domínio nas variáveis 0 <= v <= pi2 e . Observando as retas originais, após a mudança de variável, os limites são:

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral como:
13 integral0^pi integral0^pi2 sin(u) cos(v) , dv , du
Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^pi2 cos(v) , dv = sin(v) |0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1 :

Passo 7

Substituindo esse resultado na integral, temos:
13 integral0^pi sin(u) times 1 , du = 13 integral0^pi sin(u) , du
Agora, vamos integrar integral sin(u) , du = -cos(u) + C em relação a -cos(u) |0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2 :
Aplicando os limites:

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo fator 13 times 2 = 23 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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