Seja o domínio limitado pelas linhas retas , e . Avaliar as seguintes integrais:
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla sobre o domínio limitado pelas retas , , e . Para isso, vamos usar mudança de variável e integração por partes, que são técnicas de cálculo importantes para resolver integrais mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio de integração . As equações das retas são:
Podemos notar que faz sentido fazer uma mudança de variável para simplificar a região de integração. Vamos escolher novas variáveis e tais que:
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Temos:
Substituindo na segunda equação:
E, portanto:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o Jacobiano da transformação para mudar a variável da integral. O Jacobiano é dado por: