Derive cada uma das funções dadas abaixo:
k)

Passo 1

Resumo do Enunciado: Vamos derivar a função . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, que é fundamental para derivar funções compostas como essa.

Passo 2

Identificando as Funções Compostas: A função dada é uma composição de três funções seno. Ou seja, temos , onde cada seno está aninhado dentro do outro. Para derivar isso, precisamos aplicar a regra da cadeia várias vezes.

Passo 3

Primeira Aplicação da Regra da Cadeia: Começamos derivando a função externa. Sabemos que a derivada de em relação a é . Então, se , temos:

Passo 4

Segunda Aplicação da Regra da Cadeia: Agora, vamos derivar . Usando novamente a regra da cadeia, onde , a derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Derivando : A derivada de em relação a é . Então substituímos:

Passo 6

Substituindo de Volta na Expressão Original: Agora, colocamos essa derivada de volta na expressão que tínhamos no Passo 3:

Resposta

A derivada da função é:

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Dizemos que uma curva , com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se , para todo . Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
c)
Calcule e ; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto
b) ;
Seja o domínio limitado pelas linhas retas , e . Avaliar as seguintes integrais:
(b) .
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
f)