Seja D o domínio limitado pelas linhas retas x-y=0, x-y= pi, x+2 y=0, e x+2 y=pi2. Avaliar as seguintes integrais:
(a) integral duplaD(x+y) d A

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral dupla de sobre a região delimitada pelas retas , , e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem encontrar a soma de uma função em uma área específica do plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como é a região onde vamos integrar. Temos quatro retas que formam um paralelogramo:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para determinar os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção:
  • Interseção de y = x e y = -x2 com y = x e y = pi4 - x2 :
    y = x - pi e y = -x2
    Igualando y = x - pi e y = pi4 - x2 , temos , então .
  • Interseção de com :
    Igualando , temos , então .
  • Interseção de com :
    Igualando , temos , então .
  • Interseção de com :
    Igualando , temos , então .

Passo 4

Com os pontos de interseção encontrados, podemos descrever a região :
  • varia de a .
  • Para cada , varia entre as duas retas que limitam abaixo e acima.
Vamos reescrever as equações das retas para expressar em função de :
  • Limite inferior: .
  • Limite superior: para de a , ; para de a , .

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaD (x + y) , dA = integralx=0^2pi3 integralyinferior^ysuperior (x + y) , dy , dx
Dividimos a integração em duas partes devido às mudanças nos limites de yinferior = -x2, ysuperior = x :
  1. Para yinferior = -x2, ysuperior = pi4 - x2 de a :
  2. Para de a :

Passo 6

Calculamos as integrais separadamente:
  1. Primeira Integral:
    integral0^pi6 integral-x2^x (x + y) , dy , dx
    Integrando em relação a integral-x2^x (x + y) , dy = [ xy + y^22 ]-x2^x :
    ( x cdot x + x^22 ) - ( x cdot ( -x2 ) + ( -x2 )^22 ) = 3x^22 + x^28 = 13x^28
    Substituindo os limites:
    integral0^pi6 13x^28 , dx = 138 cdot [ x^33 ]0^pi6 = 1324 cdot ( pi^3216 ) = 13pi^35184
    Agora, integramos em relação a integralpi6^2pi3 integral-x2^pi4 - x2 (x + y) , dy , dx :
    integral-x2^pi4 - x2 (x + y) , dy = [ xy + y^22 ]-x2^pi4 - x2
  2. Segunda Integral:
    x ( pi4 - x2 ) + ( pi4 - x2 )^22 - ( x cdot ( -x2 ) + ( -x2 )^22 )
    Integrando em relação a pi x4 - x^22 + pi^232 - pi x4 + x^28 + x^22 - x^28 = pi^232 :
    integralpi6^2pi3 pi^232 , dx = pi^232 cdot ( 2pi3 - pi6 ) = pi^232 cdot pi2 = pi^364
    Substituindo os limites:
    Simplificando:
    Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral dupla 13pi^35184 + pi^364 = 13pi^35184 + 81pi^35184 = 94pi^35184 = 47pi^32592 é igual a:

Exercícios relacionados