Seja o domínio limitado pelas linhas retas , e . Avaliar as seguintes integrais:
(a)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral dupla de sobre a região delimitada pelas retas , , e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem encontrar a soma de uma função em uma área específica do plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como é a região onde vamos integrar. Temos quatro retas que formam um paralelogramo:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para determinar os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção:
  • Interseção de com :
    Igualando , temos , então .
  • Interseção de com :
    Igualando , temos , então .
  • Interseção de com :
    Igualando , temos , então .
  • Interseção de com :
    Igualando , temos , então .

Passo 4

Com os pontos de interseção encontrados, podemos descrever a região :
  • varia de a .
  • Para cada , varia entre as duas retas que limitam abaixo e acima.
Vamos reescrever as equações das retas para expressar em função de :
  • Limite inferior: .
  • Limite superior: para de a , ; para de a , .

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla:
Dividimos a integração em duas partes devido às mudanças nos limites de :
  1. Para de a :
  2. Para de a :

Passo 6

Calculamos as integrais separadamente:
  1. Primeira Integral:
    Integrando em relação a :
    Substituindo os limites:
    Agora, integramos em relação a :
  2. Segunda Integral:
    Integrando em relação a :
    Substituindo os limites:
    Simplificando:
    Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral dupla é igual a:

Exercícios relacionados

Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
e)
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
f)
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
j) ;
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
o)