Seja
o domínio limitado pelas linhas retas
, e
. Avaliar as seguintes integrais:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
delimitada pelas retas
,
,
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem encontrar a soma de uma função
em uma área específica do plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como é a região
onde vamos integrar. Temos quatro retas que formam um paralelogramo:
-
⟹ -
⟹ -
⟹ -
⟹
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para determinar os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção:
-
Interseção de
com : Igualando, temos ⟹ , então . -
Interseção de
com : Igualando, temos ⟹ , então . -
Interseção de
com : Igualando, temos ⟹ , então . -
Interseção de
com : Igualando, temos ⟹ , então .
Passo 4
Com os pontos de interseção encontrados, podemos descrever a região
:
-
varia de a . - Para cada
, varia entre as duas retas que limitam abaixo e acima.
Vamos reescrever as equações das retas para expressar
em função de
:
- Limite inferior:
. - Limite superior: para
de a , ; para de a , .
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla:
Dividimos a integração em duas partes devido às mudanças nos limites de
:
-
Para
de a : -
Para
de a :
Passo 6
Calculamos as integrais separadamente:
-
Primeira Integral:Integrando em relação a
: Substituindo os limites:Agora, integramos em relação a: -
Segunda Integral:Integrando em relação a
: Substituindo os limites:Simplificando:Agora, integramos em relação a:
Resposta
A integral dupla
é igual a:
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
e)
e)
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
f)
f)
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
j) ;
j)
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
o)
o)