Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
e) integral1 / 2^1 integral0^raiz1-x^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O exercício pede para calcular a integral . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais duplas e a técnica de mudança para coordenadas polares, que facilita o cálculo em regiões circulares ou radiais. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para polares e usar o fator de correção da área, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está de a e, para cada , vai de a . Isso descreve uma parte do círculo de raio 1 no primeiro quadrante, entre e .

Passo 3

Agora, vamos converter essas desigualdades para coordenadas polares. Sabemos que:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, a condição representa a parte superior do círculo de raio 1, então vai de a .

Passo 4

Para 12 <= r cos theta <= 1 a 12 = r cos theta implies cos theta = 12r , em coordenadas polares isso fica:
Como , isso nos dá os limites para . Quando :
Mas como , vai de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral em coordenadas polares. Lembrando que o elemento de área integral0^pi3 integral12cos theta^1 r, dr, dtheta vira , a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral12cos theta^1 r, dr = [ 12 r^2 ]12cos theta^1 = 12 - 18 cos^2 theta
Então, a integral fica:
integral0^pi3 ( 12 - 18 cos^2 theta ) dtheta

Passo 7

Agora, integrando em relação a 12 theta - 18 tan theta |0^pi3 = 12 cdot pi3 - 18 cdot tan pi3 = pi6 - raiz38 :

Resposta

O valor da integral é .

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