Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O exercício pede para calcular a integral . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais duplas e a técnica de mudança para coordenadas polares, que facilita o cálculo em regiões circulares ou radiais. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para polares e usar o fator de correção da área, que é .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está de a e, para cada , vai de a . Isso descreve uma parte do círculo de raio 1 no primeiro quadrante, entre e .
Passo 3
Agora, vamos converter essas desigualdades para coordenadas polares. Sabemos que:
Além disso, a condição representa a parte superior do círculo de raio 1, então vai de a .
Passo 4
Para a , em coordenadas polares isso fica:
Como , isso nos dá os limites para . Quando :
Mas como , vai de a .
Passo 5
Agora, montamos a integral em coordenadas polares. Lembrando que o elemento de área vira , a integral fica: