Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O exercício pede para calcular a integral . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais duplas e a técnica de mudança para coordenadas polares, que facilita o cálculo em regiões circulares ou radiais. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para polares e usar o fator de correção da área, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está de a e, para cada , vai de a . Isso descreve uma parte do círculo de raio 1 no primeiro quadrante, entre e .

Passo 3

Agora, vamos converter essas desigualdades para coordenadas polares. Sabemos que:
Além disso, a condição representa a parte superior do círculo de raio 1, então vai de a .

Passo 4

Para a , em coordenadas polares isso fica:
Como , isso nos dá os limites para . Quando :
Mas como , vai de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral em coordenadas polares. Lembrando que o elemento de área vira , a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integrando em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
f)
Seja o domínio limitado pelas linhas retas , e . Avaliar as seguintes integrais:
(b) .
Seja o domínio limitado pelas linhas retas , e . Avaliar as seguintes integrais:
(a)
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
j) ;