Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
lim t 0[raizt+3 imath+t-1t^2-1 jmath+t g tt k]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial quando limt 0 [ raizt+3 imath + t-1t^2-1 jmath + tan tt k ] se aproxima de 0. A função tem três componentes:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções básicas e aplicar isso a cada componente do vetor.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente: limt 0 raizt+3 .
Queremos calcular:
raiz0 + 3 = raiz3
Sabemos que a função raiz quadrada é contínua onde está definida, então podemos simplesmente substituir por 0:
Portanto, o limite da primeira componente é .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: limt 0 t-1t^2-1 .
Queremos calcular:
t-1t^2-1 = t-1(t-1)(t+1) = 1t+1, t neq 1
Observamos que 10 + 1 = 1 pode ser fatorado como . Então,
Agora, calculamos o limite substituindo por 0:
Então, o limite da segunda componente é .

Passo 4

Por último, vamos para a terceira componente: limt 0 tan tt .
Queremos calcular:
limt 0 tan tt = 1
Sabemos que:
Isso porque é aproximadamente igual a quando está próximo de 0.
Portanto, o limite da terceira componente é .

Resposta

Combinando todas as componentes, o limite da função vetorial é:
raiz3 imath + 1 jmath + 1 k

Exercícios relacionados