Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial quando
se aproxima de 0. A função tem três componentes:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções básicas e aplicar isso a cada componente do vetor.
Passo 2
Vamos começar com a primeira componente:
.
Queremos calcular:
Sabemos que a função raiz quadrada é contínua onde está definida, então podemos simplesmente substituir
por 0:
Portanto, o limite da primeira componente é
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
.
Queremos calcular:
Observamos que
pode ser fatorado como
. Então,
Agora, calculamos o limite substituindo
por 0:
Então, o limite da segunda componente é
.
Passo 4
Por último, vamos para a terceira componente:
.
Queremos calcular:
Sabemos que:
Isso porque
é aproximadamente igual a
quando
está próximo de 0.
Portanto, o limite da terceira componente é
.
Resposta
Combinando todas as componentes, o limite da função vetorial é:
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Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
Sejam
e
, com
e
e
. Calcular:
Sejam
e
, com
e
e
. Calcular:
Considere a função vetorial
e
tais que exista
. Prove que