Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial quando se aproxima de 0. A função tem três componentes:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções básicas e aplicar isso a cada componente do vetor.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente: .
Queremos calcular:
Sabemos que a função raiz quadrada é contínua onde está definida, então podemos simplesmente substituir por 0:
Portanto, o limite da primeira componente é .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: .
Queremos calcular:
Observamos que pode ser fatorado como . Então,
Agora, calculamos o limite substituindo por 0:
Então, o limite da segunda componente é .

Passo 4

Por último, vamos para a terceira componente: .
Queremos calcular:
Sabemos que:
Isso porque é aproximadamente igual a quando está próximo de 0.
Portanto, o limite da terceira componente é .

Resposta

Combinando todas as componentes, o limite da função vetorial é:

Exercícios relacionados

Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
Sejam e , com e e . Calcular:
Sejam e , com e e . Calcular:
Considere a função vetorial e tais que exista . Prove que