Considere a função vetorial e tais que exista . Prove que

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, se a função vetorial tem um limite quando se aproxima de , então o limite do módulo dessa função também é igual ao módulo do limite da função. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites de funções vetoriais e propriedades dos módulos (ou normas) de vetores. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam em funções vetoriais e como o módulo se comporta em relação a esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se existe, então podemos chamar esse limite de . Ou seja,
Isso significa que, à medida que se aproxima de , a função vetorial se aproxima de um vetor fixo .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o módulo de um vetor. O módulo de um vetor , denotado por , é uma medida do “tamanho” ou “comprimento” do vetor. Uma propriedade importante dos limites é que o limite do módulo de uma função vetorial é igual ao módulo do limite da função vetorial, desde que o limite exista.

Passo 4

Vamos aplicar essa propriedade ao nosso caso. Sabemos que:
Então, tomando o módulo em ambos os lados, temos:
Mas, como é exatamente , podemos escrever:

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

Sejam e , com e e . Calcular:
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
Considere e duas funções vetoriais e uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se e , então
Mostre que a curva com equações paramétricas passa pelo ponto e não passa pelo ponto .