Considere a função vetorial f(t) e t0 tais que exista lim t t0 f(t). Prove que
lim t t0|f(t)|=|lim t t0 f(t)|

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, se a função vetorial tem um limite quando se aproxima de , então o limite do módulo dessa função também é igual ao módulo do limite da função. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites de funções vetoriais e propriedades dos módulos (ou normas) de vetores. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam em funções vetoriais e como o módulo se comporta em relação a esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se limt to t0 f(t) = L existe, então podemos chamar esse limite de . Ou seja,
Isso significa que, à medida que se aproxima de , a função vetorial se aproxima de um vetor fixo .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o módulo de um vetor. O módulo de um vetor , denotado por , é uma medida do “tamanho” ou “comprimento” do vetor. Uma propriedade importante dos limites é que o limite do módulo de uma função vetorial é igual ao módulo do limite da função vetorial, desde que o limite exista.

Passo 4

Vamos aplicar essa propriedade ao nosso caso. Sabemos que:
limt to t0 f(t) = L
Então, tomando o módulo em ambos os lados, temos:
limt to t0 |f(t)| = |L|
Mas, como limt to t0 |f(t)| = | limt to t0 f(t) | é exatamente , podemos escrever:

Resposta

Portanto, provamos que:
limt to t0 |f(t)| = | limt to t0 f(t) |

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