Sejam e , com e e . Calcular:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções vetoriais, e , e nos pede para calcular o produto escalar delas, ou seja, . Aqui, vamos trabalhar com álgebra vetorial, especificamente com o cálculo de produto escalar entre vetores que dependem de uma variável .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores resulta em um número (escalar) e é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando esses produtos. Ou seja, se e , então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as expressões das funções vetoriais e substituindo os vetores e :
Substituindo em :
Vamos distribuir e :
Agora, agrupando as componentes semelhantes:

Passo 4

A função já está dada na forma componentizada:

Passo 5

Agora, identificamos as componentes de cada vetor para aplicar o produto escalar:
Notamos que não possui componente na direção de , por isso multiplicamos por zero.

Passo 6

Aplicamos a fórmula do produto escalar:
Simplificando:

Resposta

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Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
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Considere a função vetorial e tais que exista . Prove que
Considere e duas funções vetoriais e uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se e , então